Даны вершины пирамиды SPMN:S2;0;0,P0;3;0,M0;0;1,N(7;9;6). Найти: Длину ребра SN Уравнение ребра SN Уравнение грани SPN Площадь грани SPN Уравнение высоты,

Даны вершины пирамиды SPMN:S2;0;0,P0;3;0,M0;0;1,N(7;9;6). Найти: Длину ребра SN Уравнение ребра SN Уравнение грани SPN Площадь грани SPN Уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань PMN Длину высоты, опущенной из вершины S на грань PMN Угол между ребрами SP и SN (в градусах) Угол между ребром SP и гранью PMN (в градусах) Объем пирамиды

Составим векторы:
SP=xP-xS;yP-yS;zP-zS=0-2;3-0;0-0=-2;3;0
SM=xM-xS;yM-yS;zM-zS=0-2;0-0;1-0=-2;0;1
SN=xN-xS;yN-yS;zN-zS=7-2;9-0;6-0=5;9;6
Длину ребра SN найдем как длину соответствующего вектора:
SN=SN=52+92+62=142
Уравнение ребра составим по направляющему вектору SN и точке S
x-25=y9=x6
Найдем вектор нормали к плоскости SPN
n=SP×SN=ijk-230596=18i-18k-15k+12j=18i+12j-33k
Составим уравнение плоскости по вектору нормали и точке S:
18x-2+12y-33z=0
18x+12y-33z-36=0
6x+4y-11z-12=0
Площадь грани найдем, используя свойство векторного произведения векторов:
S=12∙SP×SN=12182+122+(-33)2=12324+144+1089=15572≈19,73
Составим уравнение грани PMN по формуле:
x-xPy-yPz-zPxM-xPyM-yPzM-zPxN-xPyN-yPzN-zP=0
x-0y-3z-00-00-31-07-09-36-0=0
xy-3z0-31766=0
-18x+7y-3+21z-6x=0
-24x+7y+21z-21=0
Вектор нормали к данной плоскости: n1=(-24;7;21)
Вектор нормали к плоскости PMN является направляющим высоты, опущенной из вершины S на грань PMN, поэтому уравнение высоты:
x-xS-24=y-yS7=z-zS21
x-2-24=y-07=z-021
x-2-24=y7=z21
Длину высоты найдем по формуле расстояния от точки S до плоскости PMN
h=-24xS+7yS+21zS-21-242+72+212=691066≈2,11
Угол между ребрами найдем как угол между соответствующими векторами, используя определения скалярного произведения:
cosα=SP∙SNSP∙SN=-2∙5+3∙9+0∙6-22+32+02∙142=171846
α=arccos171846≈66,69°
Угол между ребром SP и гранью PMN найдем по формуле:
sinγ=SP∙n1SP∙n1=-2∙(-24)+3∙7+0∙2113∙1066=6913858
γ=arcsin6913858≈35,88°
Объем пирамиды, построенной на векторах SP,SM,SN найдем, используя свойство смешанного произведения векторов:
V=16∙(SP×SM)∙SN
SP×SM∙SN=-230-201596=15+36+18=69
V=696=232=11,5 (куб.ед.)