Даны вершины треугольника А(-3; -5), В(1; -2), С(9; -5). Найти:а) длину сторон АВ и

Даны вершины треугольника А(-3; -5), В(1; -2), С(9; -5). Найти:а) длину сторон АВ и АС;б) внутренний угол при вершине А;в) уравнение стороны ВС;г) уравнение высоты АН;д) уравнение медианы СМ;е) систему неравенств, определяющих треугольник.

А) длина сторон AB и AC
Расстояние d между точками M1x1;y1 и M2x2;y2 определяется по
формуле:
d=x2-x12+y2-y12
Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:
AB=1-(-3)2+-2-(-5)2=16+9=25=5ед.
Подставив в эту формулу координаты точек А и C, имеем:
AC=9-(-3)2+-5-(-5)2=144+0=12 ед.
б) внутренний угол при вершине А
Косинус угла A между двумя прямыми определяется по формуле:
cos∠A=AB∙ACAB∙AC
AB=1--3;-2--5=4;3
AC=9--3;-5-(-5)=12;0
AB=5ед.;AC=12ед.
cos∠A=4∙12+3∙05∙12=4860=45=0,8
Тогда ∠A=arccos0,8≈0,64 рад.≈36,870
в) уравнение стороны ВС
Уравнение прямой, проходящей через точки M1x1;y1 и M2x2;y2 имеет вид:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1
Подставив в формулу координаты точек B и C, получим уравнение прямой ВC
x-19-1=y-(-2)-5-(-2);
BC: x-18=y+2-3
или
-3x-1=8y+2;-3x+3-8y-16=0;
3x+8y+13=0
г) уравнение высоты АН
Так как высота AH перпендикулярна стороне ВC, то угловые коэффициенты этих
прямых обратны по величине и противоположны по знаку:
BC: 3x+8y+13=0
8y=-3x-13;y=-38x-138;kBC=-38
Тогда
kAH=83
Уравнение прямой, проходящей через данную точку M1x1;y1в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид:
y-y1=kx-x1
Подставим координаты точки A-3;-5 и kAH=83
y-(-5)=83x-(-3)
y+5=83x+8
AH:y=83x+3 или 8x-3y+9=0
д) уравнение медианы СМ
Найдем середину стороны AB, точку M
xM=xA+xB2=-3+12=-1;yM=yA+yB2=-5+-22=-3,5
Тогда медиана CM имеет уравнение:
x-xCxM-xC=y-yCyM-yC
x-9-1-9=y-(-5)-3,5-(-5)
СM:x-9-10=y+51,5
или
1,5x-9=-10y+5
1,5x-13,5+10y+50=0;1,5x+10y+36,5=0;
СM:3x+20y+73=0
е) систему неравенств, определяющих треугольник
Уравнение прямой, проходящей через точки M1x1;y1 и M2x2;y2 имеет вид:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1
Подставив в формулу координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ
x-(-3)1-(-3)=y-(-5)-2-(-5); x+34=y+53;3x+3=4y+5
AB:3x-4y-11=0
Подставив в формулу координаты точек А и C, получим уравнение прямой АC
x-(-3)9-(-3)=y-(-5)-5-(-5); x+312=y+50
AC:y+5=0
Теперь подставляем в уравнение прямых точки (вершины треугольника), чтобы выделить ту полуплоскость, в которой лежит треугольник:
Сторона AB:3x-4y-11=0, подставляем точку C9;-5:
3∙9-4∙-5-11=36>0
Сторона BC: 3x+8y+13=0, подставляем точку A-3;-5:
3∙(-3)+8∙(-5)+13=0=-36<0
Сторона AC:y+5=0, подставляем точку B1;-2:
-2+5=3>0
Получаем систему
3x-4y-11≥0,3x+8y+13≤0y+5≥0
Сделаем чертеж.
Ответ: а) 5ед.,12ед.;б)≈36,870;в) 3x+8y+13=0;г) 8x-3y+9=0 ;
д)3x+20y+73=0;е)3x-4y-11≥0,3x+8y+13≤0y+5≥0