Даны два полуограниченных стержня. Начальная температура первого постоянная и равна нулю, второго u0 =

Даны два полуограниченных стержня. Начальная температура первого постоянная и равна нулю, второго u0 = const. В начальный момент времени они приведены в соприкоснование своими концами. Определите распределение температуры по длине обоих стержней в любой момент времени t.

1. Распространение тепла в однородном теплоизолированном стержне описывается уравнением:
∂u1∂t=a12∂2u1∂x2 x≤0, (1)
∂u2∂t=a22∂2u2∂x2 x≥0, (2)
где ai2=kiciρi, (i = 1,2),
ci – коэффициент теплоемкости,
ki – коэффициент внутренней теплопроводности,
ρi – плотность вещества стержня.
Имеем наччальные условия:
u1x,0=0, x≤0 (3)
u2x,0=u0, x≥0. (4)
Граничные условия в точке соприкосновения стержней:
u10,t=u20,t=μ(t) (5) – равенство температур;
k1∂u1(0,t)∂x=k2∂u2(0,t)∂x (6) – равенство тепловых потоков.
2 . Решение однородного уравнения для левого полубесконечного стержня имеет вид:
u1x,t=-x2a1π0tμτt-τ32e-x24a12(t-τ)dτ, (7)
а для правого стержня получим (сделав замену u2=u2-u0):
u2x,t=x2a2π0tμτ-u0t-τ32e-x24a22(t-τ)dτ+u0. (8)
3. Из граничного условия теплопередач найдем функцию μt:
∂u1(0,t)∂x=-12a1π0tμτt-τdτ (9)
∂u2(0,t)∂x=12a2π0tμτ-u0t-τdτ (10)
-k12a1π0tμτt-τdτ=k22a2π0tμτ-u0t-τdτ.
k2a1k1a20tμτ-u0t-τdτ+0tμτt-τdτ=0
0tσμτ-u0+μτt-τdτ=0 (11)
где σ=k2a1k1a2.
Равенство (11) должно выполняться при любом t > 0, следовательно:
σμτ-u0+μτ=0, отсюда:
μτ=u0σ1+σ=const.
4

. Решение однородного уравнения для левого полубесконечного стержня имеет вид:
u1x,t=-x2a1π0tμτt-τ32e-x24a12(t-τ)dτ, (7)
а для правого стержня получим (сделав замену u2=u2-u0):
u2x,t=x2a2π0tμτ-u0t-τ32e-x24a22(t-τ)dτ+u0. (8)
3. Из граничного условия теплопередач найдем функцию μt:
∂u1(0,t)∂x=-12a1π0tμτt-τdτ (9)
∂u2(0,t)∂x=12a2π0tμτ-u0t-τdτ (10)
-k12a1π0tμτt-τdτ=k22a2π0tμτ-u0t-τdτ.
k2a1k1a20tμτ-u0t-τdτ+0tμτt-τdτ=0
0tσμτ-u0+μτt-τdτ=0 (11)
где σ=k2a1k1a2.
Равенство (11) должно выполняться при любом t > 0, следовательно:
σμτ-u0+μτ=0, отсюда:
μτ=u0σ1+σ=const.
4