Даны вершины пирамиды А(1; –1; 6), В(4; 5; –2), С(–1; 3; 0), D(6; 1;

Даны вершины пирамиды А(1; –1; 6), В(4; 5; –2), С(–1; 3; 0), D(6; 1; 5). Найти: а) Угол между векторами CA и CB; б) площадь грани ABC; в) проекцию вектора CA на вектор CD; г) объем пирамиды; д) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

А) CA=1–-1;-1-3;6-0=2; -4;6,
CA=22+-42+62=4+16+36=56=214,
CB=4--1;5-3;-2-0=(5;2;-2),
CB=52+22+(-2)2=25+4+4=33,
CA∙CB=2∙5+-4∙2+6∙-2=10-8-12=-10,
cosα=CA∙CBCA∙CB=-10214∙33=-5462,
α=arccos-5462≈103,45°.
б) AB=4-1;5--1;-2-6=(3;6; -8),
AC=-1-1;3--1;0-6=(-2;4; -6),
SABC=12AB×AC=12ijk36-8-24-6=12i∙6-84-6-j∙3-8-2-6+k∙36-24=12i∙-36+32-j∙-18-16+k∙12+12=
=12-4i+34j+24k=12-42+342+242=1216+1156+576=
=437;
в) CA=1–-1;-1-3;6-0=2; -4;6,
CD=6–-1;1-3;5-0=7; -2;5,
CD=72+-22+52=49+4+25=78,
CA∙CD=2∙7+-4∙-2+6∙5=14+8+30=52,
ПрCDCA=CA∙CDCD=5278.
г) AB=4-1;5--1;-2-6=(3;6; -8),
AC=-1-1;3--1;0-6=(-2;4; -6),
AD=6-1;1--1;5-6=(5;2; -1),
V=16AB,AC,AD=1636-8-24-652-1=16-12+32-180+160+36--12=1624=4
д) h=3VSABC=3∙4437=12437.