Даны вершины треугольника A(-7; -2), B(-3; 1), C(5; -2). Найти: а) длину сторон AB

Даны вершины треугольника A(-7; -2), B(-3; 1), C(5; -2). Найти: а) длину сторон AB и AC; б) внутренний угол при вершине A; в) уравнение стороны BC; г) уравнение высоты AH; д) уравнение медианы CM; е) систему неравенств, определяющих треугольник.

Запишем координаты векторов:
AB=xB-xA;yB-yA=-3--7;1--2=(4;3)
AC=xC-xA;yC-yA=5--7;-2--2=(12;0)
BC=xC-xB;yC-yB=5--3;-2-1=8;-3
Длины сторон:
AB=42+32=25=5 ед.
AC=122+02=144=12 ед.
внутренний угол при вершине A найдем, используя свойство скалярного произведения:
cosA=AB∙ACAB∙AC=4∙12+3∙05∙12=4860=45
A=arccos45≈36,87°
Уравнение стороны BC запишем по направляющему вектору и точке B:
BC: x-xBBCx=y-yBBCy
x+38=y-1-3 -3x-9=8y-8 3x+8y+1=0
Запишем уравнение стороны в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
y=-38x-18 kBC=-38
Высота AH перпендикулярна стороне BC, поэтому их угловые коэффициенты связаны соотношением:
kAH∙kBC=-1 => kAH=-1kBC=83
Составим уравнение высоты AH по угловому коэффициенту и точке A:
y-yA=kAH(x-xA)
y+2=83x+7 y=83x+503 8x-3y+50=0
Для составления уравнения медианы CM найдем координаты точки M – середины AB по формуле деления отрезка пополам:
xM=xA+xB2=-7-32=-5
yM=yA+yB2=-2+12=-12 => M-5;-12
Составим уравнение медианы AM по двум точкам:
x-xAxM-xA=y-yAyM-yA
x+7-5+7=y+2-12+2 x+72=y+232 x+74=y+23 3x+21=4y+8
3x-4y+13=0
Для составления системы неравенств, определяющих треугольник, составим уравнения сторон AB и AC
AB: x-xAABx=y-yAABy x+74=y+23 3x+21=4y+8 3x-4y+13=0
AC: x-xAACx=y-yAACy x+712=y+20 y+2=0
Для определения знаков неравенств, определяющих треугольник, в уравнения сторон подставим координаты противоположной вершины:
AB: 3xC-4yC+13=15+8+13=36>0
AC: yB+2=1+2=3>0
BC: 3xA+8yA+1=-21-16+1=-36<0
3x-4y+13≥0y+2≥03x+8y+1≤0