Для данного дифференциального уравнения найти кривую, проходящую через точку A. ydy+x-2ydx=0, A(1,2) Это однородное уравнение первого

Для данного дифференциального уравнения найти кривую, проходящую через точку A. ydy+x-2ydx=0, A(1,2) Это однородное уравнение первого порядка, решается заменой yx=txx; dy=tdx+xdt

Подставим замену и приведем уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
txtdx+xdt+x-2txdx=0⟹t2xdx+tx2dt+x-2txdx=0 ⟹
⇒ tx2dt+t2-2+1xdx=0⇒tdtt2-2+1+dxx=0⇒
⇒tdt(t-1)2+dxx=С⇒(t-1+1)dt(t-1)2+ln⁡|x|=С⇒
⇒(t-1)dt(t-1)2+dt(t-1)2+ln⁡|x|=С⇒
⇒d(t-1)(t-1)+d(t-1)(t-1)2+lnx=С⇒lnt-1-1t-1+lnx=С⇒
⇒lnt-1x-1t-1=C⇒
Проведем обратную замену.
t=yx 1t-1=1yx-1=xy-x
⇒lnyx-1x-xy-x=C⇒lny-x-xy-x=C
Найдем C из условия прохождения кривой через точку A(x=1,y=2).
ln2-1-12-1=C⇒C=-1
Подставим C в уравнение
lny-x-xy-x=-1
Ответ:
lny-x-xy-x=-1