Доказать, что фактор группа GL2(Z3Z) по ее центру изоморфна группе S4 GL2(Z3Z) – группа обратимых

Доказать, что фактор группа GL2(Z3Z) по ее центру изоморфна группе S4 GL2(Z3Z) – группа обратимых матриц (матрицы, определитель которых не равен 0) порядка 2 с элементами из множества Z/3Z=0, 1, 2

С другой стороны матрицу порядка 2 с элементами из множества Z/3Z можно рассматривать как линейный оператор, действующий на арифметическом векторном пространстве Z/3Z2 (то есть пространство 2-мерных столбцов с элементами из Z/3Z)
1. Найдем размерность фактор группы GL2(Z3Z) по ее центру
Центром группы ZGL2(Z3Z) является множество, которое состоит из двух скалярных матриц: A1=1001 и A2=2002, поскольку для любой матрицы A∈GL2(Z3Z) справедливо A1A=AA1 и A2A=AA2 (свойства скалярных матриц и определение центра группы) . Размерность центра – 2.
Факторгруппа PGL2(Z3Z) по центру – это группа преобразований одномерного проективного пространства P1(Z3Z), индуцированных невырожденными линейными операторами пространства Z/3Z2 (нашими обратимыми матрицами)
Поскольку Z/3Z – конечное поле размерности 3, то размерность группы GL2(Z3Z) равна:
GL2(Z3Z)=32-132-3=48.
А размерность факторгруппы PGL2(Z3Z):
PGL2(Z3Z)=GL2(Z3Z)ZGL2(Z3Z)=48:2=24
2

. Размерность центра – 2.
Факторгруппа PGL2(Z3Z) по центру – это группа преобразований одномерного проективного пространства P1(Z3Z), индуцированных невырожденными линейными операторами пространства Z/3Z2 (нашими обратимыми матрицами)
Поскольку Z/3Z – конечное поле размерности 3, то размерность группы GL2(Z3Z) равна:
GL2(Z3Z)=32-132-3=48.
А размерность факторгруппы PGL2(Z3Z):
PGL2(Z3Z)=GL2(Z3Z)ZGL2(Z3Z)=48:2=24
2