Функция общих издержек фирмы имеет следующий вид: TC=4Q3 -8Q2 +8Q. Найти отраслевой объём, при

Функция общих издержек фирмы имеет следующий вид: TC=4Q3 -8Q2 +8Q. Найти отраслевой объём, при котором на конкурентном рынке устанавливается долгосрочное равновесие. Фирм в отрасли 50. Найти прибыль каждой фирмы и функцию предложения.

Равновесие конкурентной фирмы в долгосрочном периоде достигается при равенстве AC=MC=P.
Средние издержки каждой фирмы равны:
AC = TCQ=4Q3-8Q2+8QQ=4Q2-8Q+8
Предельные издержки для фирмы – это производная от общих издержек:
MC=TC`=4Q3-8Q2+8Q`=12Q2-16Q+8
Приравняем функции AC и MC и определим равновесный объем производства для фирмы:
4Q2-8Q+8=12Q2-16Q+8
Q2-Q=0
Q=1
Подставим значение равновесного количества в функцию MC:
MC=12∙1-16∙1+8=4
Отраслевая цена равна:
MC=P=4
Выведем уравнение предложения для одной фирмы в долгосрочном периоде:
P=MCP≥minAC
P=12Q2-16Q+8
P12=Q2-43Q+23
P12=Q2-2∙23Q+49-49+23
P12=(Q-23)2+29
P12-29=(Q-23)2
P12-29=Q-23
Q=P12-29+23
Функция предложения одной фирмы:
Q=P12-29+23 при P≥4Q=0 при P≤4
Функция предложения отрасли:
Q=50∙(P12-29+23) при P≥Q=0 при P≤44
Прибыль фирмы равна:
П=TR-TC=1∙4-4-8+8=0
Ответ: равновесие конкурентной фирмы в долгосрочном периоде достигается при Q = 1, при этом прибыль фирмы равна нулю.