Найдем вершину параболоида O': t=1∙552-4∙20+1∙8721+16+1=-12⇒ 6x-4y+10z+552=-12-4x+2y-4z-20=-210x-4y+6z+872=-1/2⇔6x-4y+10z+28=0-4x+2y-4z-18=010x-4y+6z+44=0 ⇔x=-4y=1z=0⇒O'-4;1;0. Каноническая система координат O',i',j',k' найдена. 6x2+y2+6z2-4xy+4xz-4yz+28x-18y+44z+53=0

Найдем вершину параболоида O': t=1∙552-4∙20+1∙8721+16+1=-12⇒ 6x-4y+10z+552=-12-4x+2y-4z-20=-210x-4y+6z+872=-1/2⇔6x-4y+10z+28=0-4x+2y-4z-18=010x-4y+6z+44=0 ⇔x=-4y=1z=0⇒O'-4;1;0. Каноническая система координат O',i',j',k' найдена. 6x2+y2+6z2-4xy+4xz-4yz+28x-18y+44z+53=0

A=6-2214-21-2-92-262214-92253
Вычисляем инварианты поверхности:
I1=6+1+6=13,
I2=6-2-21+1-2-26+6226=2+2+32=36,
I3=6-22-21-22-26=0, I4=6-2214-21-2-92-262214-92253=0,
K3=6-214-21-914-953+62142622142253+1-2-9-2622-92253=-1296.
Используя теорему 5.3 определяем, что данное уравнение определяет эллиптический цилиндр, т.е. является поверхностью третьей группы. Используем алгоритм нахождения канонического уравнения и канонической системы координат для поверхностей третьей группы.
Составляем характеристическое уравнение
λ3-I1λ2+I2λ-I3=0⇔λ3-14λ2-72λ-0=0⇔λ3-14λ2-72λ=0
и находим его корни λ1=18, λ2=-4, λ3=0.
Записываем каноническое уравнение этой поверхности
18X2-4Y2-2Z2+-216-36=0⇔X22+Y21-Z212=-1.
Каноническая система координат O',i',j',k' определятся следующим образом: O'- центр данной поверхности, векторы координатных осей имеют главные направления, отвечающие соответствующим корням характеристического уравнения.
Находим единственный центр данной поверхности, как решение следующей системы линейных уравнений:
x-3y+z-2=0-3x+y-z+4=0x-y+5z-6=0⇔x-3y+z-2=0-8y+2z-2=02y+4z-4=0⇔x-3y+z-2=0y+2z-2=0-4y+z-1=0
⇔x-3y+z-2=0y+2z-2=09z-9=0⇔x=1y=0z=1⇒O'1;0;1.
Находим главное направление α1;β1;γ1 отвечающее корню λ1=3