Найти: Математическое ожидание и дисперсию случайных величин ξ и η. Ковариацию и коэффициент вариации случайных величин. 2

Найти: Математическое ожидание и дисперсию случайных величин ξ и η. Ковариацию и коэффициент вариации случайных величин ξ и η. Математическое ожидание и дисперсию случайных величин ζ1 и ζ2, а также ковариацию и коэффициент вариации случайных величин ζ1 и ζ2. Найдите условное математическое ожидание случайной величины ξ при условии η и условное математическое ожидание случайной величины η при условии ξ.

Совместная плотность распределения случайных величин и задана формулой:
p=5192x2+2y,x,y∈D
D=x;y:0≤x≤20≤y≤2x2
px=5x432,0≤x≤2
pηy=572-65y2y2304+5y48,0≤y≤8
1. Находим числовые характеристики случайных величин и :
M=Dxpx,ydxdy=51920202x2x3+2yxdydx=
=519202x3y+y2x02x2dx=5192026x5dx=5x619202=53
M=Dypx,ydxdy=51920202x2x2y+2y2dydx=
=519202x2y22+2y3302x2dx=51920222x63dx=55x7201602=22063
Чтобы найти дисперсию, вычисляем начальные моменты второго порядка:
M2=51920202x2x4+2yx2dydx=
=519202x4y+y2x202x2dx=5192026x6dx=5x722402=207
M2=51920202x2x2y2+2y3dydx=
=519202x2y33+y4202x2dx=51920232x83dx=5x916202=128081
Тогда дисперсии равны:
D=M2-M2=207-532=563
D=M2-M2=128081-220632=143203969
2

. Находим математическое ожидание произведения компонент:
Mξη=Dxypx,ydxdy=51920202x2x3y+2y2xdydx=
=519202x3y22+2y3x302x2dx=519202223x7dx=55x8230402=559
Тогда ковариация равна:
cov,η=559-53∙22063=55189
Коэффициент корреляции:
rη=cov,ηDDη=55189563∙143203969=111253716≈0,5438
Абсолютная величина 0,5<rη<0,7 коэффициента корреляции говорит об существенной линейной зависимости между величинами, а знак «+» о прямом ее характере.
3