Непрерывная двумерная с.в. (X,Y) задана плотностью распределения вероятностей fx,y=cx+y, при 0≤x≤1, 0≤y≤1,0, в остальных случаях. Зависимы

Непрерывная двумерная с.в. (X,Y) задана плотностью распределения вероятностей fx,y=cx+y, при 0≤x≤1, 0≤y≤1,0, в остальных случаях. Зависимы ли с.в. X и Y? Найти м.о. и дисперсию с.в. X и Y.

Согласно свойствам плотности распределения двумерной с.в.:-∞+∞-∞+∞fx,ydxdy=1, тогда
-∞+∞-∞+∞fx,ydxdy=c01dx01x+ydy=c01dx∙xy+y2201=c01x+12dx==c∙x22+x201=c∙12+12=c=1.
Найдем fXx и fYy по формулам: fXx=-∞∞f(x,y)dy, fYy=-∞∞f(x,y)dx
fXx=-∞∞f(x,y)dy=01x+ydy=xy+y2201=x+12,
fXx=x+12, при 0≤ x≤1 ,0, при x<0 или x>1.
fYy=-∞∞f(x,y)dx=01x+ydx=x22+xy01=12+y,
fYy=y+12, при 0≤ y≤1 ,0, при y<0 или y>1.
Найдем MX и MY по формулам: MX=-∞∞x∙fXxdx, MY=-∞∞y∙fYydy
MX=-∞∞x∙fXxdx=01x2+x2dx=x33+x2401=13+14=712,
MY=-∞∞y∙fYydy=01y2+y2dy=y33+y2401=13+14=712
Вычислим дисперсии случайных величин Х и Y по формулам:
DX=MX2-MX2 и DY=MY2-MY2
MX2=-∞∞x2∙fXxdx=01x3+x22dx=x44+x3601=14+16=512,
MY2=-∞∞y2∙fYydy=01y3+y22dy=y44+y3601=14+16=512
Таким образом, DX=512-7122=11144=0,0764, DY=512-7122=11144=0,0764
Для выяснения зависимости между случайными величинами Х и Y вычислим M(XY):
MXY=-∞+∞-∞+∞xy∙fx,ydxdy=01xdx01yx+ydy=01xdx01xy+y2dy==01xdx∙xy22+y3301=01xdx∙x2+13=01x22+x3dx=x36+x2601=13.
Найдем ковариацию Х и Y по формуле:
сovX,Y=MXY-MX∙MY=1/3-7/12∙7/12=-1/144≠0
Х и Y зависимые, так как ковариация не равна нулю.
Ответ: Х и Y зависимые, MX=712, MY=712,DX=11144, DY=11144