Однородная струна, закрепленная на концах x=0 и x=l, имеет в начальный момент времени форму

Однородная струна, закрепленная на концах x=0 и x=l, имеет в начальный момент времени форму u(x,0), точкам струны сообщена начальная скорость ut. Найти отклонение струны для любого момента времени. utt=9uxx, 0<x<3, 0<t<∞, (1) ux,0=xx-3, utx,0=x-3, (2) u0,t=0, u3,t=0. (3)

Применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T''(t)=9X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на 9Xx∙T(t)
T''(t)9T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
T''t+9λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3), получим
X0⋅Tt=0, X3⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X3=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X3=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X3=C2 sin3λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin3λ=0,
3λ=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πk32, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xkx=sinπkx3, k=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk''(t)+9πk32Tkt=0.
Tk''t+πk2Tkt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Akcosπkt+Bksinπkt.
Решение ux,t исходной задачи записывается в виде ряда по собственным функциям
ux,t=k=1∞TktXkx=k=1∞Akcosπkt+Bksinπktsinπkx3,
utx,t=k=1∞πk-Aksinπkt+Bkcosπktsinπkx3.
Коэффициенты Ak, Bk этого ряда найдем из начальных условий (2)
ux,0=k=1∞Ak sinπkx3=xx-3,
utx,0=k=1∞πkBk sinπkx3=x-3.
Коэффициенты Ak и πkBk представляют собой коэффициенты разложения соответственно функций xx-3 и x-3 в ряды Фурье по собственным функциям sinπkx3k=1∞
Ak=2303xx-3sinπkx3dx=2303xx-3-3πkdcosπkx3=
=-2πkxx-3cosπkx303=0-03cosπkx32x-3dx=
=2πk032x-3 3πkdsinπkx3=6π2k22x-3sinπkx303=0-03sinπkx32dx=
=36π3k3cosπkx303=36π3k3cosπk-1=36-1k-1π3k3.
πkBk=2303x-3sinπkx3dx
Bk=23πk03x-3sinπkx3dx=23πk03x-3-3πkdcosπkx3=
=-2π2k2x-3cosπkx303-03cosπkx3dx=
=-2π2k23cosπk-3πksinπkx303=0=-6-1kπ2k2.
Следовательно, решение исходной задачи (1) − (3) имеет вид
ux,t=k=1∞36-1k-1π3k3cosπkt-6-1kπ2k2sinπktsinπkx3=
=k=1∞6π3k36-1k-1cosπkt--1kπksinπktsinπkx3.
Ответ:
ux,t=k=1∞6π3k36-1k-1cosπkt--1kπksinπktsinπkx3.