Определение реакций опор составной конструкции M = 60 кН ∙ м q = 20 кН/м (AE) F1

Определение реакций опор составной конструкции M = 60 кН ∙ м q = 20 кН/м (AE) F1 = 10 кН (L) α1 = 15◦ F3 = 30 кН (K) α3 = 60◦

1. Освобождаем плоскую систему сил от связей, заменив их реакциями опор
2. Разделяем составную конструкцию на два простых объекта равновесия, определив в точку свободного опирания C реакции RC, равные по величине и противоположные по направлению для балки CB и угольника AC, соответственно
3. Раскладываем F1 и F3 на горизонтальную и вертикальную составляющие
F1X = F1 cos α1 = 10 cos 15◦ = 9,66 кН
F1Y = F1 sin α1 = 10 sin 15◦ = 2,59 кН
F3X = F3 cos α3 = 30 cos 60◦ = 15 кН
F3Y = F3 sin α3 = 30 sin 60◦ = 25,98 кН
4 . Заменяем распределённую нагрузку q сосредоточенной
Q = (3a + 3a + 4a) q = 10 ∙ 0,2 ∙ 20 = 40 кН
5. Составляем уравнение равновесия для балки BC
∑FkX = 0XB – RC cos 30◦ + F1X = 0 (1)
∑FkY = 0YB + RC sin 30◦ + F1Y = 0 (2)
∑MB(Fk) = 0M – 5aRC + (5a + 3a) F1 cos (α1 + 30◦) = 0 (3)
для угольника AC
∑FkX = 0RC cos 30◦ - F3X + XA = 0(4)
∑FkY = 0-RC sin 30◦ - F3Y + RD – Q + YA = 0(5)
∑MA(Fk) = 0(10a – 5a) Q – (10a – 3a) RD + 10a (RC sin 30◦ +
+ F3Y) + aF3X – (2a + a) RC cos 30◦ = 0(6)
(3)60 – 5 ∙ 0,2RC + 8 ∙ 0,2 ∙ 10 cos (15◦ + 30◦) = 60 – RC + 11,31 = 0
RC = 71,31 кН
(1)XB – 71,31 ∙ 0,87 + 9,66 = 0XB = 52,1 кН
(2)YB + 71,31 ∙ 0,5 + 2,59 = 0YB = -38,24 кН
(4)71,31 ∙ 0,87 – 15 + XA = 0XA = -46,75 кН
(6)5 ∙ 0,2 ∙ 40 – 7 ∙ 0,2RD + 10 ∙ 0,2 (71,31 ∙ 0,5 + 25,98) –
- 3 ∙ 0,2 ∙ 71,31 ∙ 0,87 = 40 – 1,4RD + 123,27 + 3 – 37,05 = 0
RD = 92,3 кН
(5)-71,31 ∙ 0,5 – 25,98 + 92,3 – 40 + YA = 0YA = 9,33 кН
Проверка: составляем уравнение равновесия для моментов относительно произвольной точки C
∑MС = 3aF1 cos (α1 + 30◦) + M + 5a (YB sin 30◦ - XB cos 30◦) – 2aF3X +
+ 3aRD – 5aQ + 10aYA + (2a + a) XA = 3 ∙ 0,2 ∙ 10 cos (15◦ + 30◦) +
+ 60 + 8 ∙ 0,2 (-38,24 ∙ 0,5 – 52,1 ∙ 0,87) – 2 ∙ 0,2 ∙ 15 + 3 ∙ 0,2 ∙ 92,3 –
- 5 ∙ 0,2 ∙ 40 + 10 ∙ 0,2 ∙ 9,33 + 3 ∙ 0,2 ∙ (-46,75) = 4,24 + 60 +
+ 1 (-19,12 – 45,12) – 6 + 55,88 – 40 + 18,66 – 28,05 = -0,01 ≈ 0
Ответ:RA = XA2+ YA2 = (-46,75)2+ 9,332 = 47,67 кН
RB = XB2+ YB2 = 52,12+ (-38,24)2 = 64,8 кН
RC = 71,31 кН;RD = 92,3 кН

. Заменяем распределённую нагрузку q сосредоточенной
Q = (3a + 3a + 4a) q = 10 ∙ 0,2 ∙ 20 = 40 кН
5. Составляем уравнение равновесия для балки BC
∑FkX = 0XB – RC cos 30◦ + F1X = 0 (1)
∑FkY = 0YB + RC sin 30◦ + F1Y = 0 (2)
∑MB(Fk) = 0M – 5aRC + (5a + 3a) F1 cos (α1 + 30◦) = 0 (3)
для угольника AC
∑FkX = 0RC cos 30◦ - F3X + XA = 0(4)
∑FkY = 0-RC sin 30◦ - F3Y + RD – Q + YA = 0(5)
∑MA(Fk) = 0(10a – 5a) Q – (10a – 3a) RD + 10a (RC sin 30◦ +
+ F3Y) + aF3X – (2a + a) RC cos 30◦ = 0(6)
(3)60 – 5 ∙ 0,2RC + 8 ∙ 0,2 ∙ 10 cos (15◦ + 30◦) = 60 – RC + 11,31 = 0
RC = 71,31 кН
(1)XB – 71,31 ∙ 0,87 + 9,66 = 0XB = 52,1 кН
(2)YB + 71,31 ∙ 0,5 + 2,59 = 0YB = -38,24 кН
(4)71,31 ∙ 0,87 – 15 + XA = 0XA = -46,75 кН
(6)5 ∙ 0,2 ∙ 40 – 7 ∙ 0,2RD + 10 ∙ 0,2 (71,31 ∙ 0,5 + 25,98) –
- 3 ∙ 0,2 ∙ 71,31 ∙ 0,87 = 40 – 1,4RD + 123,27 + 3 – 37,05 = 0
RD = 92,3 кН
(5)-71,31 ∙ 0,5 – 25,98 + 92,3 – 40 + YA = 0YA = 9,33 кН
Проверка: составляем уравнение равновесия для моментов относительно произвольной точки C
∑MС = 3aF1 cos (α1 + 30◦) + M + 5a (YB sin 30◦ - XB cos 30◦) – 2aF3X +
+ 3aRD – 5aQ + 10aYA + (2a + a) XA = 3 ∙ 0,2 ∙ 10 cos (15◦ + 30◦) +
+ 60 + 8 ∙ 0,2 (-38,24 ∙ 0,5 – 52,1 ∙ 0,87) – 2 ∙ 0,2 ∙ 15 + 3 ∙ 0,2 ∙ 92,3 –
- 5 ∙ 0,2 ∙ 40 + 10 ∙ 0,2 ∙ 9,33 + 3 ∙ 0,2 ∙ (-46,75) = 4,24 + 60 +
+ 1 (-19,12 – 45,12) – 6 + 55,88 – 40 + 18,66 – 28,05 = -0,01 ≈ 0
Ответ:RA = XA2+ YA2 = (-46,75)2+ 9,332 = 47,67 кН
RB = XB2+ YB2 = 52,12+ (-38,24)2 = 64,8 кН
RC = 71,31 кН;RD = 92,3 кН