Для данной задачи линейного программирования: построить ее математическую модель; решить ее геометрическим методом; решить ее симплекс-методом; построить задачу,. 2

Для данной задачи линейного программирования: построить ее математическую модель; решить ее геометрическим методом; решить ее симплекс-методом; построить задачу, двойственную к данной и найти её решение; дать экономическую интерпретацию полученным ответам. Мебельный цех выпускает столы и тумбочки, используя 2 вида древесины. Расход древесины каждого вида на 1 единицу изделия; запас древесины; доход, получаемый цехом от реализации одного изделия каждого вида, даны в таблице. Сколько столов и тумбочек можно изготовить из имеющегося материала, чтобы обеспечить наибольший доход? Вид изделия Расход на 1 изделие, м3 Запас древесины, м3 Стол Тумбочка I 2 1 72 II 1 3 56 Доход от 1 изделия, $ 2 1

1) Обозначим:
x1 - количество столов, изготавливаемых предприятием;
x2 - количество тумбочек, изготавливаемых предприятием.
Доход, получаемый предприятием от изготовления x1 столов, равен 2x1, а доход от изготовления тумбочек равен x2 долларов. Следовательно, от изготовления всех столов и тумбочек предприятие имеет доход:
f=2x1+x2→max.
Необходимо, чтобы доход был максимальным.
Количество изготавливаемых столов и тумбочек ограничивается ресурсами (запасами) древесины.
Так, в процессе производства столов будет израсходовано древесины первого вида в количестве 2x1 м3, а на изготовление тумбочек этой же древесины будет израсходовано в количестве x2 м3. Таким образом, общие затраты древесины первого вида на производство и столов, и тумбочек будут равны 2x1 +x2 м3. Наличие древесины первого вида ограничено величиной 72 м3, следовательно, имеем первое ограничение:
2x1+x2≤72.
Аналогично рассуждая при учете ограниченности ресурсов древесины второго вида, получим второе ограничение:
x1+3x2 ≤56.
Ясно также, что величины x1 и x2 не могут быть отрицательными, т.е. имеем ограничение:
x1,x2≥0.
Таким образом, имеем следующую математическую модель линейного программирования: найти значения неизвестных x1,x2, доставляющих максимум функции
f=2x1+x2→max
и удовлетворяющие ограничениям
2x1+x2≤72
x1+3x2 ≤56
x1,x2≥0.
2) Решим полученную задачу графически.
Общий порядок графического решения задачи линейного программирования, имеющей две переменные, состоит в следующем.
На плоскости вводим прямоугольную систему координат x10x2. Определяем масштаб представления чисел на осях координат.
Строим область определения функции цели как общую часть полуплоскостей, определяемых неравенствами системы ограничений.
Каждому неравенству ставим в соответствие равенство и строим граничную прямую соответствующей полуплоскости. Затем, выбрав на плоскости любую точку, не лежащую на граничной прямой, подставляют ее координаты в неравенство

. Если неравенство выполняется, то выбранная точка лежит на искомой полуплоскости, а если неравенство не выполняется, то полуплоскость лежит по другую сторону от выбранной точки.
Строим область определения на рисунке. Римскими цифрами указаны номера неравенств, откуда построена граница полуплоскости.
Направляющий вектор C = (c1,c2) указывает направление возрастания функции цели. Линия одного уровня функции цели располагается перпендикулярно вектору. Сдвигая линию одного уровня функции цели в направлении, указываемом вектором C, найдем точку максимума функции цели, а сдвигая в обратном направлении, найдем минимум функции. Естественно, эта точка должна принадлежать области определения функции.
Как правило, точка оптимума есть точка пересечения прямых, определяемых неравенствами системы ограничений.
Область определения функции цели - выделенный прямоугольник.
Точка достижения максимума функции цели находится на пересечении прямых, порождаемых первым и вторым неравенствами. Решаем систему:
2x1+x2=72
x1+3x2 =56
Находим x1=32; x2=8;тогда fmax=72.
Кроме того, так как направляющий вектор перпендикулярен первой прямой, максимум также будет достигаться в точке (36;0). Т.е. мы имеем альтернативный оптимум. Таким образом, решение имеет вид
Xopt=k36;0+1-k32;8; fmax=72.
Здесь k∈0;1.
3) Решим теперь задачу симплекс-методом.
Введем в задачу балансовые переменные x3,x4≥0 и представим ее в канонической форме.
f=2x1+x2→max
2x1+x2+x3=72
x1+3x2 +x4=56
x1,…,x4≥0.
Задача линейного программирования представлена в канонической форме, т.е. система ограничений задачи есть система линейных уравнений.
В задаче имеется исходное опорное решение X0=(0,0,72,56), в котором переменные x3,x4 базисные, а переменные x1,x2 - свободные.
Чтобы оценить имеющееся опорное решение, построим т.н. нулевое уравнение. Так как функция цели уже выражена через свободные переменные, перенесем их в левую часть функции и получим нулевое уравнение