Для данной выборки: 23,8 24,1 24,2 24,1 24,3 23,9 24,5 24,2 24,1 Написать вариационный ряд, найти

Для данной выборки: 23,8 24,1 24,2 24,1 24,3 23,9 24,5 24,2 24,1 Написать вариационный ряд, найти медиану; Построить эмпирическую функцию распределения; Найти выборочную среднюю x, исправленную дисперсию S2; Исходя из нормального закона распределения случайной величины, указать 95-процентный доверительный интервал для MX, приняв а) σX=0,18 – данное число; б) σX=S – стандартное отклонение; Указать 95-процентный доверительный интервал для σX.

Написать вариационный ряд, найти медиану
Упорядочив данные по возрастанию, получим вариационный ряд
23,8 23,9 24,1 24,1 24,1 24,2 24,2 24,3 24,5
В выборке есть повторяющиеся значения. Запишем вариационный ряд в более компактном виде, выписав все различные варианты с указанием частоты ni (количества появлений данного числа).
Тогда вариационный ряд примет вид
xi
23,8 23,9 24,1 24,2 24,3 24,5
ni
1 1 3 2 1 1
n=ni=9 – объем выборки.
Медиана – варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
Так как n=2k+1=2∙4+1=9 – нечетное число, то медиана
μ=xk+1=x5=24,1
Построить эмпирическую функцию распределения
Найдем эмпирическую функцию распределения F*x.
Вычислим относительные частоты pi*=nin, результаты приведем в таблице.
xi
23,8 23,9 24,1 24,2 24,3 24,5
pi*
0,1111 0,1111 0,3333 0,2222 0,1111 0,1111
Найдем значения функции распределения
F*x=0, x≤23,80,1111, 23,8<x≤23,90,1111+0,1111, 23,9<x≤24,10,1111+0,1111+0,3333 , 24,1<x≤24,20,1111+0,1111+0,3333+0,2222,24,2<x≤24,30,1111+0,1111+0,3333+0,2222+0,1111 , 24,3<x≤24,51, x>24,5
Эмпирическая функция распределения имеет вид
F*x=0, x≤23,80,1111, 23,8<x≤23,90,2222, 23,9<x≤24,10,5555 , 24,1<x≤24,20,7777, 24,2<x≤24,30,8888 , 24,3<x≤24,51, x>24,5
Найти выборочную среднюю x, исправленную дисперсию S2;
Сделаем линейную замену U=X-24,10,1 перейдем таким образом к ряду
ui
-3 -2 0 1 2 4
ni
1 1 3 2 1 1
для которого найдем
u=1nuini=19-3∙1+-2∙1+0∙3+1∙2+2∙1+4∙1=39=13
M*U2=19-32∙1+-22∙1+02∙3+12∙2+22∙1+42∙1=359
D*U=M*U2-u2=359-132=359-19=349
S2U=nn-1∙D*U=98∙349=348=4,25
Выборочная средняя
x=0,1∙u+24,1=0,1∙13+24,1≈24,1333
Исправленная выборочная дисперсия
S2=0,12∙S2U=0,12∙4,25=0,0425
Исходя из нормального закона распределения случайной величины, указать 95-процентный доверительный интервал для MX, приняв а) σX=0,18 – данное число; б) σX=S – стандартное отклонение;
σX=0,18 – данное число.
Доверительный интервал для MX при известном среднем квадратическом отклонении σ имеет вид
x-σtn<MX<x+σtn
Найдем t из
2Фt=0,95 ⟹ Фt=0,952=0,475
По таблице для функции Лапласа находим
t=1,96
Подставляем значения, находим доверительный интервал
24,1333-0,18∙1,969<MX<24,1333+0,18∙1,969
95-процентный доверительный интервал для MX
24,0157<MX<24,2509
σX=S – стандартное отклонение.
Доверительный интервал для MX при неизвестном среднеквадратическом отклонении σ имеет вид
x-Stn<MX<x+Stn
S=S2=0,0425≈0,2062 – исправленное стандартное отклонение.
По таблице распределения Стьюдента по γ=0,95 и n-1=9-1=8 найдем t=2,31.
Подставляем значения, находим доверительный интервал
24,1333-0,2062∙2,319<MX<24,1333+0,2062∙2,319
95-процентный доверительный интервал для MX
23,9745<MX<24,2921
Указать 95-процентный доверительный интервал для σX.
Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения σX имеет вид
S1-q<σX<S1+q
По данным γ=0,95 и n=9 по таблице найдем q=0,71.
Подставляем значения
0,2062 ∙1-0,71<σX<0,2062∙1+0,71
95-процентные доверительные интервалы для σX
0,0598<σX<0,3526