Для определения срока службы металлорежущих станков было проведено 10%-е выборочное обследование о методу случайного

Для определения срока службы металлорежущих станков было проведено 10%-е выборочное обследование о методу случайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующие данные. Срок службы, лет До 4 4–6 6–8 8–10 Свыше 10 Число станков, шт. 6 20 40 28 6 Определить: с вероятностью 0,954 предельную ошибку и границы, в которых находится средний срок службы металлорежущих станков; с вероятностью 0,997 предельную ошибку и границы удельного веса станков со сроком службы свыше 8 лет; объем выборки при условии, что предельная ошибка доли станков со сроком службы более 8 лет была не более 5% с вероятностью 0,954.

Определяем середины интервалов срока службы, лет:
(2+4)/2 = 3
(4+6)/2 = 5
(6+8)/2 = 7
(8+10)/2 = 9
(10+12)/2 = 11
Средний срок службы (средняя арифметическая взвешенная):
х=xififi
х= 3∙6+5∙20+7∙40+9∙28+11∙66+20+40+28+6=716100=7,2 лет
Дисперсия
σ2=хi-х2fifi
σ2=(3-7,2)2∙6+5-7,22∙20+7-7,22∙40+9-7,22∙28+11-7,22∙66+20+40+28+6=381,6100=3,816
Предельная ошибка выборки ∆х
∆х=tσ2n1-nN
где t – коэффициент доверия (t = 2);
nN – доля отобранных единиц (выборка 10%-ная);
σ2 – выборочная дисперсия (σ2=3,816);
n – число станков .
∆х=23,8161001-0,1=0,4
Доверительный интервал для генеральной средней:
7,2 - 0,4 ≤x≤ 7,2 + 0,4
или
6,8 лет ≤x≤ 7,6 лет
Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что величина среднего срока службы станков в генеральной совокупности находится в пределах от 6,8 до 7,6 лет. Эти пределы распространяются на 954 единицы из 1000.
Удельный вес станков со сроком службы свыше 8 лет
W=mn=28+6100=0,34
где m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;
n – общее число единиц в совокупности.
∆w =t∙ w1- wn1-nN
где w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством (0,34);
N – число единиц в генеральной совокупности (1000);
n – число единиц в выборочной совокупности (100).
∆w =3∙ 0,341- 0,341001-0,1=0,135 или 13,5 %
Доверительный интервал генеральной доли:
34 - 13,5 ≤  Р≤ 34 + 13,5
или
20,5%≤Р≤47,5%
Вывод

.
∆х=23,8161001-0,1=0,4
Доверительный интервал для генеральной средней:
7,2 - 0,4 ≤x≤ 7,2 + 0,4
или
6,8 лет ≤x≤ 7,6 лет
Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что величина среднего срока службы станков в генеральной совокупности находится в пределах от 6,8 до 7,6 лет. Эти пределы распространяются на 954 единицы из 1000.
Удельный вес станков со сроком службы свыше 8 лет
W=mn=28+6100=0,34
где m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;
n – общее число единиц в совокупности.
∆w =t∙ w1- wn1-nN
где w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством (0,34);
N – число единиц в генеральной совокупности (1000);
n – число единиц в выборочной совокупности (100).
∆w =3∙ 0,341- 0,341001-0,1=0,135 или 13,5 %
Доверительный интервал генеральной доли:
34 - 13,5 ≤  Р≤ 34 + 13,5
или
20,5%≤Р≤47,5%
Вывод