Для стержня длиной l, закреплённого, как указано на рис. 35 ÷ 40 [1], необходимо: −вывести

Для стержня длиной l, закреплённого, как указано на рис. 35 ÷ 40 [1], необходимо: −вывести формулу для возможных частот продольных волн, возбуждаемых в стержне, при которых в нём образуется стоячая волна; −указать какая частота колебаний является основной, а какие частоты относятся к обертонам (к высшим гармоникам); −определить частоту и длину волны i=3- ой гармоники; −для этой гармоники нарисовать вдоль стержня качественную картину: а) стоячей волны амплитуд смещений; б) стоячей волны амплитуд деформаций. Исходные данные № вар. Вид крепления Материал Плотность ρ, 103кгм3 Модуль Юнга E, 1010 Па Длина l, м Определить i- ю гармонику 13 рис. 36 Сталь 7,8 20 0,8 3

Левый конец стержня свободен, а правый – жестко закреплен (защемлен). Вдоль стержня образуются стоячие волны, если левому концу заставить колебаться в направлении, перпендикулярном оси стержня. Тогда вдоль стержня пробежит волна до защемленного конца и будет отражаться. При налаживания прямых волн с волнами, отраженными из защемленного конца и образуются стоячие волны. У левого конца стержня всегда будет пучность (для стоячей волны смещений), у правого конца – узел. Для стоячей волны деформаций – картина такая же.
2. Выведем формулу для возможных частот продольных волн, возбуждаемых в стержне, при которых в нём образуется стоячая волна.
Для вывода уравнения стоячей волны заметим, что две плоские волны распространяются вдоль стержня навстречу друг другу, вдоль оси x без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда фазы обеих волн равны нулю (в нашем случае начало координат можно брать в точке защемления стержня). Тогда со ответственно уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид -4038603810l
x
Первая 
основная
гармоника (i=1)
l=1∙λ14
ν1=c4l
 
x
x
вторая 
гармоника (i=2)
l=3∙λ34
ν2=3c4l
третья
гармоника (i=3)
l=5∙λ54
ν3=5c4l
а)
б)
в)
Рис. 1
λ14
λ32
λ32
λ52
λ52
00l
x
Первая 
основная
гармоника (i=1)
l=1∙λ14
ν1=c4l
 
x
x
вторая 
гармоника (i=2)
l=3∙λ34
ν2=3c4l
третья
гармоника (i=3)
l=5∙λ54
ν3=5c4l
а)
б)
в)
Рис. 1
λ14
λ32
λ32
λ52
λ52
ξ1=Acosωt-kxξ2=Acosωt+kx (1)
Здесь k=2πλ- волновое число.
Сложим уравнения (1), воспользовавшись тригонометрической формулой перевода суммы двух косинусов в произведение:
ξ=ξ1+ξ2=Acosωt-kx+Acosωt+kx=2Acosωt-kx+ωt+kx2∙cosωt-kx-ωt-kx2==2Acosωtωt∙cos-kx=2Acoskx∙cosωt==2Acos2πxλ∙cosωt.
ξ=2Acos2πxλ∙cosωt

. (2)
Это и есть уравнение стоячей волны.
Из уравнения стоячей волны (2) вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты ω с амплитудой
Aст=2Acos2πxλ,
зависящей от координаты x рассматриваемой точки.
В точках стержня, где
2πxλ=±mπ m=0,1,2,… 3
амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2A. В точках стержня, где
2πxλ=±m+12π m=0,1,2,… 4
амплитуда колебаний обращается в нуль.
Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (Aст=2A), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (Aст=0), называются узлами стоячей волны