Имеются три пункта отправления А1, А2, А3 однородного груза и пять пунктов В1, В2,

Имеются три пункта отправления А1, А2, А3 однородного груза и пять пунктов В1, В2, В3, В4, В5 его назначения. На пунктах А1, А2, А3 находится в количестве 50, 70, 110 единиц соответственно. В пункты В1, В2, В3, В4, В5 требуется доставить соответственно 50, 50, 50, 50, 30 единиц груза. Тарифы на перевозку груза между пунктами отправления и назначения приведены в матрице D. Составить план перевозок, при котором общие затраты на перевозку грузов будет минимальными. Указание: для решения задачи использовать методы минимальной стоимости и потенциалов.

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
Таким образом, запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой. Занесем исходные данные в распределительную таблицу.
B1 B2 B3 B4 B5 Запасы
A1 4 1 6 4 5 50
A2 6 4 5 8 9 70
A3 3 4 7 5 9 110
Потребности 50 50 50 50 30
1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.
Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj. Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены. Искомый элемент равен c12=1. Для этого элемента запасы равны 50, потребности 50. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.
x12 = min(50,50) = 50.
x 1 x x x 50 - 50 = 0
6 4 5 8 9 70
3 4 7 5 9 110
50 50 - 50 = 0 50 50 30
Искомый элемент равен c31=3. Для этого элемента запасы равны 110, потребности 50. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.
x31 = min(110,50) = 50
x 1 x x x 0
x 4 5 8 9 70
3 4 7 5 9 110 - 50 = 60
50 - 50 = 0 0 50 50 30
Искомый элемент равен c23=5. Для этого элемента запасы равны 70, потребности 50. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.
x23 = min(70,50) = 50.
x 1 x x x 0
x 4 5 8 9 70 - 50 = 20
3 4 x 5 9 60
0 0 50 - 50 = 0 50 30
Искомый элемент равен c34=5. Для этого элемента запасы равны 60, потребности 50. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.
x34 = min(60,50) = 50.
x 1 x x x 0
x 4 5 x 9 20
3 4 x 5 9 60 - 50 = 10
0 0 0 50 - 50 = 0 30
Искомый элемент равен c25=9. Для этого элемента запасы равны 20, потребности 30. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.
x25 = min(20,30) = 20.
x 1 x x x 0
x 4 5 x 9 20 - 20 = 0
3 4 x 5 9 10
0 0 0 0 30 - 20 = 10
Искомый элемент равен c35=9

. Для этого элемента запасы равны 10, потребности 10. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его.
x35 = min(10,10) = 10.
x 1 x x x 0
x 4 5 x 9 0
3 4 x 5 9 10 - 10 = 0
0 0 0 0 10 - 10 = 0
Далее, согласно алгоритму, ищем элементы среди не вычеркнутых.
4 1 6 4 5 50
6 4 5 8 9 70
3 4 7 5 9 110
50 50 50 50 30
Искомый элемент равен c14=4, но т.к. ограничения выполнены, то x14=0.
B1 B2 B3 B4 B5 Запасы
A1 4 1[50] 6 4[0] 5 50
A2 6 4 5[50] 8 9[20] 70
A3 3[50] 4 7 5[50] 9[10] 110
Потребности 50 50 50 50 30
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1=7. Следовательно, опорный план является невырожденным.Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F(x) = 1*50 + 5*50 + 9*20 + 3*50 + 5*50 + 9*10 = 970
2. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v2 = 1; 0 + v2 = 1; v2 = 1
u1 + v4 = 4; 0 + v4 = 4; v4 = 4
u3 + v4 = 5; 4 + u3 = 5; u3 = 1
u3 + v1 = 3; 1 + v1 = 3; v1 = 2
u3 + v5 = 9; 1 + v5 = 9; v5 = 8
u2 + v5 = 9; 8 + u2 = 9; u2 = 1
u2 + v3 = 5; 1 + v3 = 5; v3 = 4
v1=2 v2=1 v3=4 v4=4 v5=8
u1=0 4 1[50] 6 4[0] 5
u2=1 6 4 5[50] 8 9[20]
u3=1 3[50] 4 7 5[50] 9[10]
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij (1;5): 0 + 8 > 5;
∆15 = 0 + 8 - 5 = 3 > 0
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;5): 5Для этого в перспективную клетку (1;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
1 2 3 4 5 Запасы
1 4 1[50] 6 4[0][-] 5[+] 50
2 6 4 5[50] 8 9[20] 70
3 3[50] 4 7 5[50][+] 9[10][-] 110
Потребности 50 50 50 50 30
Цикл приведен в таблице (1,5 → 1,4 → 3,4 → 3,5). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е