Время работы до отказа каждого элемента системы (см. рис.3) подчинено экспоненциальному закону распределения с

Время работы до отказа каждого элемента системы (см. рис.3) подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром λ =0,1 1/год. Требуется вычислить количественные характеристики надежности системы: вероятность отказов Q(t), частоту отказов f(t) для t =1 год, среднее время до отказа ТС. Рисунок 3– Расчетная схема системы

Рассматриваемая система представляет собой паралельно-последовательное соединение равнонадежных элементов, время работы до отказа каждого из элементов системы подчинено экспоненциальному закону распределения. Для оценки количественных характеристик надежности используются следующие формулы.
Вероятность отказов Qс(t):
Qс(t) =1 – Pс(t) , (1)
где Pс (t) - вероятность безотказной работы системы
Вероятность безотказной работы системы Pc(t):
Pc(t) =[1 - (1-Pi(t) )2]· Pi(t) (2)
где Pi (t) - вероятность безотказной работы элемента системы
Преобразуем формулу (2):
Pc(t) =[1 - (1-Pi(t) )2] Pi(t)=[1 -(1-2 Pi(t)+Pi2(t) ]Pi(t)=
=2Pi2(t)-Pi3(t) , (3)
Вероятность безотказной работы элемента системы Pi (t) рассчитывается по формуле:
Pi(t) = e-λit, (4)
где λi - интенсивность отказов элемента системы, 1 /год
Подставив формулу (4) в (3), получим окончательное выражение для определения вероятности безотказной работы системы Pc(t):
Pc(t) =2e-2λit -e-3λit, (5)
Тогда по формуле(1):
Qс(t) =1 – Pс(t)=1-2e-2λit + e-3λit, (6)
Частота отказов fc (t) определяется по формуле, где используется производная от функции Рc(t):
fc(t) = -Pc'(t) , (7)
fc(t)=-Pc'(t) =-(4λie-3λit-3λie-4λit) =λie-3λit(3-4λie-λit), (8)
Cреднее время до отказа ТС рассчитывается по формуле:
TC =0∞Pс(t)dt, (9)
Подставив выражение (5) в формулу (9) и выполнив преобразования получим:
TC =0∞(2e-2λit -e-3λit)dt = 20∞e-2λitdt -0∞e-3λit dt=
=2·12λi -13λi =1λi -13λi =23λi , (10)
Для заданного времени работы t = 1 год при значении интенсивности отказов λ0 = 0,1 1/год по формулам (6),(8) и (10) получим следующие значения количественных характеристик надежности системы:
Qс(1) =1-2e-2·0,1·1 + e-3·0,1·1 = 1-2·0,818+0,741=0,105
fc(1)=0,1e-3·0,1·1(3-4λie-0,1·1) = 0,1·0,741(3-4·0,1·0,905 )=
=0,196 1/год
TC =23·0,1 = 6,7 года
Ответ: Qс(1) =0,105; fc(1)=0,196 1/год; TC =6,7 года