Вычислить неопределенные интегралы и результаты проверить дифференцированием: 6x2-5x+4x3dx x∙ex2-3dx x∙cosxdx

Вычислить неопределенные интегралы и результаты проверить дифференцированием: 6x2-5x+4x3dx x∙ex2-3dx x∙cosxdx

Применим метод непосредственного интегрирования, используя значения табличных интегралов:
6x2-5x+4x3dx=6x2dx-5dxx+x34dx=6∙13∙x3-5lnx+47x74+C=
=2x3-5lnx+474x7+C
Выполним проверку:
2x3-5lnx+474x7+C'=2∙3∙x2-5x+47∙74∙4x3=6x2-5x+4x3
Произведем замену переменной:
x2-3=t 2xdx=dt xdx=12dt
x∙ex2-3dx=12etdt=12et+C=12ex2-3+C
Выполним проверку:
12ex2-3+C'=12ex2-3∙x2-3'=12ex2-3∙2x=xex2-3
Применим формулу интегрирования по частям:
udv=uv-vdu
u=x dv=cosxdx
du=dx v=sinx
x∙cosxdx=xsinx-sinxdx=xsinx+cosx+C
Выполним проверку:
xsinx+cosx+C'=sinx+xcosx-sinx=xcosx