Вычислить несобственный интеграл с помощью вычетов: -∞∞x+1x4+1dx

Вычислить несобственный интеграл с помощью вычетов: -∞∞x+1x4+1dx

Рассмотрим функцию:
fz=z+1z4+1
Функция f(z) совпадает на действительной оси с заданной подынтегральной функцией.
Интеграл представлен в виде:
-∞∞PxQxdx
Степень Q(x) превосходит степень P(x) более чем на два, поэтому:
-∞∞PxQxdx=2πi∙k Resz=zkfz
zk- особые точки лежащие в вернхней полуплоскости
Найдем особые точки, принадлежащие верхней полуплоскости:
z4+1=0 => z=4-1
-1=cosπ+isinπ
z1=4-1=cosπ4+isinπ4=22+i 22
z2=4-1=cos3π4+isin3π4=-22+i 22
z3=4-1=cos5π4+isin5π4=-22-i 22
z4=4-1=cos7π4+isin7π4=22-i 22
z+1z4+1=z+1z-22-i 22z+22-i 22z+22+i 22z-22+i 22
-∞∞x+1x4+1dx=2πi∙Resz=z1fz+Resz=z2fz
Resz=z1fz=limz→z1z+1z4+1∙z-22-i 22=
=limz→z1z+1z+22-i 22z+22+i 22z-22+i 22=
=22+i 22+122+2i∙i2=22+i 22+1-22+22i=22+i 22+1-22-22i-22+22i-22-22i=
=-2-2i-22-2i+2-22i8-8i2=-28-14i-28i
Resz=z2fz=limz→z1z+1z4+1∙z+22-i 22=
=limz→z1z+1z-22-i 22z+22+i 22z-22+i 22=
=-22+i 22+1-2∙2i∙-2+2i=-22+i 22+1-2i∙-2+2i=-22+i 22+122+22i=
=-22+i 22+122-22i22+22i22-22i=-2+2i+22+2i+2-22i8-8i2=
=22+4i-22i16=28+14i-28i
-∞∞x+1x4+1dx=2πi∙Resz=z1fz+Resz=z2fz=
=2πi∙-28-14i-28i+28+14i-28i=2πi∙-24i=π22