Контрольная работа по "Статистике". 153

    Федеральное агентство по образованию

    Пермский  государственный технический университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

       По дисциплине

         «Статистика»

         Вариант №7 
 
 
 

     Выполнил  студент

     Гуманитарного факультета 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Пермь 2010 

1. Определите средний стаж, моду, медиану и показатели вариации. Постройте графики.

 

РЕШЕНИЕ:

      Определение среднего стажа рабочих произведём по формуле средней арифметической взвешенной. , где х – значение признака, а f – частота повторения соответствующего признака. Но наши данные представлены в виде интервального ряда распределения, и предварительно требуется вычислить среднее значение признака для каждого интервала, представляющее полусумму нижнего и верхнего значений интервала. Т.е.  , где   - нижняя граница интервала, а - верхняя граница интервала.

      Но  мы так же имеем первую и последнюю  группы с открытыми интервалами  и предполагается, что для первой группы величина интервала равна интервалу второй группы, а в последней группе – интервалу предыдущей.

      Таким образом, средний стаж рабочих определяется следующим расчётом:

 

      Следовательно, наиболее типичным для рабочих является стаж работы, равный 13,84 годам. 

      Теперь  определяем моду, т.е.  наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. Так как у нас ряд с неравными интервалами, то модальный интервал определяется по наибольшей абсолютной плотности распределения, которая находится по формуле , где – частота, а  – интервал.  
 
 

      Таким образом имеем: 

 

 И наибольшая абсолютная плотность распределения равна 13, соответственно в модальном интервале от 13 до 15 лет. 

      Формула расчёта моды в этом случае имеет  вид:

      где:

– нижняя граница модального интервала;

– ширина модального интервала;

– абсолютная плотность распределения модального интервала;

– абсолютная плотность распределения предмодального интервала;

– абсолютная плотность распределения послемодального интервала; 

      Моду  можно определить графически по гистограмме  распределения – в интервальных рядах. Для нахождения моды в интервальном ряду правую вершину модального прямоугольника нужно соединить с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

                                 

      Теперь  рассчитаем медиану, что есть численное значение признака, расположенное в середине ранжированного ряда, которое  делит этот ряд на две равные по численности части.

        Для определения медианы сначала  находят  ее место в ряду по формуле , где n – число членов ряда ( ). Если число единиц чётное, то место медианы в ряду определяется как , как в нашем случае.  И место медианы для нас %.

      Дальше  определяем накопленную частость S(%).

 

      По  накопленным частостям определим  интервал, в котором находится  медиана (медианный интервал).

      Медиана находится в интервале 13-15 лет, так как этому интервалу соответствует 68 % накопленной частости. Накопленная частость предыдущего интервала равна 42%. Следовательно, в интервале 13-15 лет, присутствует медиана, у которой частость равна 50%.

      Теперь  по формуле ,

        где :

x₀ – нижняя граница медианного интервала (13 лет);

i – величина медианного интервала (2 года, так как в интервал входят работники со стажем 14 и 15лет);

S_Me-1– накопленная частость интервала, предшествующего медианному интервалу (42 %);

f_Me– частота медианного интервала (26%=68%-42%),

      рассчитаем  точное значение медианы:

      Медиану можно определить графически по кумуляте в интервальных рядах. Для определение медианы высоту наибольшей ординаты кумуляты, соответствующей общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой. 

                      

      Таким образом 50% рабочих имеют стаж меньше 13.62 лет и 50 % больше этого стажа. 

      Теперь  определим показатели вариации:

К абсолютным показателям  вариации относятся:

- размах вариации  R,

- среднее линейное  отклонение  ,

- средний квадрат отклонений (дисперсия) ,

- среднее квадратическое  отклонение δ ,

      Для расчётов нам нужно составить таблицу расчётов показателей вариации производственного стажа работников: 

 
 

1.  Размах вариации:

Рассчитывается  по формуле 

      R=21 – 7 =14 лет.

Размах показывает общий диапазон изменения стажа, он составляет 14 лет. 

2.  Среднее линейное отклонение для вариационного ряда с неравными частотами:

Рассчитывается  по формуле 

        года.

      3.    Дисперсия для данного ряда :

Рассчитывается  по формуле 

        лет². 

          4.    Среднее квадратичное отклонение равно:

        года.

      Мы  можем сделать вывод, что фактическое  распределение близко к нормальному, т.к. существует соотношение , а именное 3,0265≈3,0625(2,45·1,25).

          5.      Относительные показатели вариации:

Коэффициент вариации рассчитывается  по формуле

      

Линейный коэффициент  вариации рассчитывается  по формуле 

      

Коэффициент осцилляции рассчитывается  по формуле 

        

 Вывод:

      Анализ  полученных данных говорит о том, что стаж работников предприятия отличается от среднего стажа в среднем на 3,03 года, или на 22,0 %. Значение коэффициента вариации не превышает 33 %, следовательно, вариация производственного стажа не велика, а найденный средний стаж достаточно представляет всю совокупность работников. И является ее типичной и надежной характеристикой, а саму совокупность можно считать однородной по производственному стажу. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Имеются следующие данные, характеризующие фермерские хозяйства:

      Определите  коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение при условии, что посевные площади под зерновыми культурами во всех хозяйствах одинаковы. Сделайте выводы. 

РЕШЕНИЕ:

      Для начала рассчитаем общую среднюю:

 (ц/га). 

      Для нахождения коэффициента детерминации и эмпирического корреляционное отношения, нам потребуется найти общую дисперсию, которая находится по правилу сложения дисперсий:  , т.е. сумма межгрупповой дисперсии и средней из групповых дисперсий.

      Найдём  среднюю из групповых дисперсий:

 

      Теперь  найдём межгрупповую дисперсию:

      Из  вышеприведённого правила сложения дисперсий, найдём общую дисперсию:

      Теперь  можно высчитать коэффициент детерминации, который определяет удельный вес вариации, объясняемой влиянием учтенного фактора на результат, в общей вариации результативного признака:

 

      А эмпирическое корреляционное отношение ( ) примет следующее значение:

      Это как раз то число, которое характеризует  степень тесноты связи между  факторными и результативными признаками. 

Вывод:

      То  есть, руководствуясь шкалой Чэддока, следует вывод, что степень связи между значением средней урожайности и стоимостным количеством удобрений на 1 га зерновых, является тесной.

      Иными словами можно сказать и так, что 84,4% различий в средней урожайности  обусловлено стоимостным количеством вносимых удобрений, а 15.6% - влиянием других факторов.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Имеются следующие данные о продажах одежды по месяцам года, д.е.:

Рассчитать: а) показатели динамики цепным и базисным методом; б) средние показатели ряда динамики; в) произведите выравнивание ряда динамики по уравнению прямой; г) найдите прогнозные значения на 2 шага вперед используя средний абсолютный прирост, средний темп роста и по уравнению тренда.

Сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления. Постройте график.

РЕШЕНИЕ:

 

А) Для начала определим абсолютные приросты:

            Цепные, по формуле:

            И базисные, по формуле:

      Где      – уровень сравниваемого периода;

 – уровень предшествующего  периода;

 – уровень базисного периода:

      Далее определим темпы роста:

Цепные, по формуле:

И базисные, по формуле:

Здесь нужно  заметить, что - это цепной коэффициент роста ( ) , а - это базисный.

      Теперь  определим темпы прироста: 

      Цепные, по формуле:

            И базисные, по формуле:

Стоит заметить, что темпы прироста можно вычислить  по следующим формулам:

      Цепные, по формуле:

            И базисные, по формуле:

      Теперь  рассчитаем показатель абсолютного  значения одного процента прироста, по формуле:

, или   

Б) Рассчитаем средний абсолютный прирост по формуле:

, или   

      Это означает, что в среднем, за рассматриваемый период, продажи одежды снизились на 0,8181 денежную единицу.

      Рассчитаем  средний темп роста  , по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста по формуле:

, где m – число коэффициентов роста,

или по формуле  

      А среднегодовой темп прироста можно  получить, вычтя из среднего темпа роста 100%, т.е.

      Это означает, что в среднем за рассматриваемый  период продажи одежды снизились  на 1.64%.

В) Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом уровни ряда динамики выражаются в вид функции времени .

      В данном случае для выражения основной тенденции мы применим метод аналитического выравнивания по уравнению прямой, имеющей вид:

      Способ  наименьших квадратов даёт систему  двух нормальных уравнений для нахождения параметров и :

где  – исходный уровень ряда динамики;

 – число уровней ряда;

 – показатель времени,  который обозначается порядковыми  номерами, начиная от низшего.

;

.

      Здесь можно упростить технику расчёта  перенеся начало координат в середину ряда динамики, т.е. придать показателям времени t такие значения, что бы их сумма была равна нулю ( ). В нашей задаче число уровней ряда чётное (n=12), а при чётном числе уровней ряда два серединных момента времени принимаются за -1 и +1, т.е. величина интервала принимается за 2 (таким образом, что, считая от середины ряда, t = 1,3,5 …). Тогда система нормальных уравнений примет следующий вид:

Тогда , и представляет собой средний уровень ряда динамики ( );

 В результате  получаем следующее уравнение  основной тенденции изменения  продаж одежды за 12 месяцев:

      Параметр  трендовой модели показывает, что продажи одежды падают в среднем на 0,3182 денежные единицы каждые полмесяца (0,6364 – в месяц). 

      Подставляя  в уравнение принятые обозначения  t, вычислим выровненные уровни ряда динамики. 
 

  

      Основная  тенденция (тренд) показывает, как воздействуют систематические факторы на уровень  ряда динамики. 

Колеблемость  уровней около тренда служит мерой воздействия остаточных факторов. Она измеряется по формуле среднего квадратического отклонения:

      

      Относительной мерой колеблемости является коэффициент  вариации:

       , или 13,24%. Т.е. каждое показание  отличается от среднего на 13,24%. 

Г) Теперь найдём прогнозные значения на два шага вперёд, используя средний абсолютный прирост:

  Экстраполяцию можно сделать по следующей формуле:

      

      где   – экстраполируемый  уровень;

      t – срок прогноза.

    Тогда, рассчитывая прогноз для первого и второго месяца следующего года, учитываем, что показатели t у нас будут соответственно 13 и 15, получаем:

    А) Для первого месяца следующего года:

    54+(-0,8181·12)= 44,1828 ден.ед..

    Б) Для второго месяца следующего года:

    54+(-0,8181·14)= 42,5466 ден.ед.. 

    Теперь  найдём прогнозные значения на два  шага вперёд по среднему темпу роста:

    

    А) Для первого месяца следующего года:

     = 44,28 ден.ед..

    Б) Для второго месяца следующего года:

     = 42,84 ден.ед.. 

    Теперь  найдём прогнозные значения на два  шага вперёд по уравнению тренда   

     :

    А) Для первого месяца следующего года:

    56 - 0,3182·13= 51,8624 ден.ед..

    Б) Для второго месяца следующего года:

    56 - 0,3182·15= 51,227 ден.ед.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Определите: индивидуальные индексы себестоимости; сводные индексы физического объема, себестоимости продукции и затрат на производство; сумму экономии предприятия за счет снижения себестоимости на основе следующих данных: