Методика изучения функций в 7-9 классе

Введение

Функциональная линия школьного курса математики – одна из ведущих, определяющая стиль изучения тем в курсах алгебры и начала анализа. Её особенность состоит в представлении возможности установления разнообразных связей в обучении.

В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе функциональной линии в системе обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредотачивалось на:

1) выделенных  и достаточно четко разграниченных  представлениях, связанных с функцией;

2) установлении  их взаимодействия при развёртывании  учебного материала.

Русский математик и педагог А. Я. Хинчин указывал, что понятие функциональной зависимости должно стать не только одним из важных понятий школьного курса математики, но тем основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которых группируется всё математическое представление.

В настоящее время появилось много новых школьных учебников по математике. При этом предложенные в данной работе методические рекомендации могут быть использованы для любого действующего учебника по алгебре. Это способствует развитию интеллектуальных умений и творческих способностей учащихся; развитию различных форм мыслительной деятельности, а также усиливает подготовку по теме.

Цель исследования состоит в изучении функциональной линии в курсе алгебры 7–9 классов и разработке методических рекомендаций по изучению данной темы по учебникам алгебры.

Объектом исследования являются процесс обучения алгебре в 7–9 классах.

Предметом исследования является процесс изучения функциональной линии в курсе алгебры 7–9 классов по учебникам алгебры.

1. Теоретические основы изучения функциональной линии в курсе алгебры основной школы.

1.1. Цели  и место изучения функциональной линии.

Цели:

1. Ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и конкретностью, как понятие функциональной зависимости. Ученик буквально на каждом шагу встречается с разными применениями функциональной зависимости, в том числе изображённой в виде графиков и диаграмм, чтение и составление которых предполагает определённое функциональное мышление.

2. Это понятие, как ни одно другое воплощает в себе черты современного математического мышления, приучает мыслить величины в их изменяемости и взаимосвязи, таким образом, идея функции способствует усвоению учащимися основ диалектического мировоззрения.

3. Понятие функции – это основное понятие высшей математики, поэтому качество подготовки учащихся средней школы к усвоению математики высшей школы во многом зависит от того, насколько твёрдо и полно данное понятие изучено в школе.

4. Многие понятия школьного курса математики строятся на понятии функции, а также решение многих задач, непосредственно не связанных с понятием функции, используют знания о ней. Идея функции может быть использована и в геометрии.

Итак, изучение понятия функции – это не только одна из важнейших целей преподавания математики в школе, но и средство, которое даёт возможность связать общей идеей разные курсы математики, установить связь с другими предметами (физикой, химией).

Место изучения функциональной линии в различных учебниках:

В школьных учебниках место изучения функций различно.

В учебниках [10], [12], [14] в 7 классе вводятся понятия функции (как зависимость одной переменной от другой), аргумента, области определения функции, графика функции, рассматриваются способы задания функции. Там же изучается прямая пропорциональность, линейная функция и степенные функции вида у = х2, у = х3, их свойства и графики. В 8 классе рассматриваются обратная пропорциональность и функция . В 9 классе вводятся понятия возрастающей и убывающей функций, чётности и нечётности функций. Рассматриваются квадратичная функция (её график и свойства), простейшие преобразования графиков (на примере квадратичной функции) и степенная функция с натуральным показателем.

В учебниках [11], [13], [15] понятие функции вводится в 7 классе, как зависимость одной переменной от другой. Но здесь не вводится понятие аргумента, области определения функции, а рассмотрены только способы задания функции и график функции. После этого изучаются прямая пропорциональность и линейная функция, их графики. В 8 классе рассматривается квадратичная функция, сначала изучается график и свойства функции затем и . В 9 классе вводятся понятия области определения функции, возрастание и убывание функции, чётность и нечётность функции. Рассматриваются обратная пропорциональность и степенная функция .

В учебниках [2], [5], [8] функция начинает изучаться в 7 классе. Здесь рассматриваются линейное уравнение с двумя переменными и его график, линейная функция, прямая пропорциональность и функция , их графики. Учащиеся учатся находить наибольшее и наименьшее значения этих функций на заданном промежутке. Вводится понятие о непрерывных и разрывных функциях, разъясняется запись , а также вводится функциональная символика. В 8 классе рассматриваются следующие функции: , , , и их графики. В 9 классе вводятся определение функции, способы задания функции, область значения, область определения функции, свойства функций: монотонность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке, чётность и нечётность. Даны наглядно-геометрические представления о непрерывности и выпуклости функции. Произведён обзор свойств и графиков известных функций: , , , , , , . А так же рассмотрены функции и , их свойства и графики, построение графика функции по известному графику функции . Кроме того, в 9 классе введены элементы теории тригонометрических функций и , их свойства и графики.

В учебниках [1], [4], [7] изучение функциональной линии начинается в 7 классе. Здесь вводится понятие функции, таблица значений и график функции, пропорциональные переменные. Учащиеся знакомятся с прямой пропорциональностью, с линейной функцией, с функцией их свойствами и графиком, а также с графиком линейного уравнения с двумя переменными. В 8 классе изучается функция , в 9 классе рассматривается квадратичная функция и функция (особое внимание уделяется случаю n = 3).

В учебниках [3], [6], [9] изучение функциональной линии начинается в 8 классе. Вводятся понятия функции, её графика, рассматриваются функции , , , прямая пропорциональность, линейная функция, квадратичная функция, их свойства и графики. В 9 классе изучается степенная функция . Кроме того, здесь могут быть рассмотрены функции , , , и . Но этот материал не является обязательным для изучения. На этом изучение функциональной линии (в основной школе) в данном комплекте заканчивается.

Итак, можно сделать вывод, что в учебниках [2], [5], [8] функциональная линия является ведущей (здесь рассмотрены понятия и функции, которым не придаётся значения в других учебниках, например, непрерывность и выпуклость, функции , , ). В других учебниках (выше рассмотренных) внимание уделяется другим содержательно-методическим линиям, а значение функциональной линии в этих учебниках умеренное. В рассмотренных учебниках содержание и место изучения данной содержательной линии отличается не существенно.

В различных учебниках используются различные способы исследования функции.

В учебниках [10], [12], [14] применяется комбинированный метод в 7 и 8 классе, а в 9 классе – аналитический. В учебниках [11], [13], [15], [1], [4], [7] используется комбинированный метод, в учебниках [2], [5], [8] – графический метод.

1.2. Анализ школьной программы.

Функциональная линия – это одна из ведущих линий в школьной математике, знакомство с ней начинается в 5 классе, а заканчивается в 11 классе. В основной школе происходит изучение таких понятий, как функция, область определения функции, способы задания функции, график функции, возрастание и убывание функции, сохранение знака на промежутке, наибольшее и наименьшее значение функции, чётная и нечётная функции.

Изучаются линейная функция у = кх + b, степенные функции вида у = х2, у = х3, квадратичная функция у = ах2 + bх + с, обратная пропорциональность , функция, содержащая знак модуля , а также функции и , где n – натуральное число.

Кроме того, рассматриваются простейшие преобразования графиков функций.

После изучения функциональной линии в основной школе учащиеся должны:

- Понимать, что функция – это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций описывают большое разнообразие реальных зависимостей;

- Правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции, область определения, возрастание и др.) И символику; понимать её при чтении текста, в речи учителя, в формулировке задач;

- Находить значение функций, заданных формулой, таблицей, графиком, решать обратную задачу;

- Находить по графику функции промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, находить наибольшее и наименьшее значения;

-  Строить графики функций – линейной, прямой и обратной пропорциональностей, квадратичной функции;

- Интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы.

1.3. Подходы к изучению понятия «функция».

Выделяют два подхода к введению определения понятия функции:

1. Генетический подход.

2. Логический подход.

Генетическая трактовка понятия функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции примерно до середины XIX века. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), правило, декартова система координат.

Генетическое развёртывание функции обладает рядом достоинств. В нём подчёркивается «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такая трактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нём, выражается аналитически или таблично.

Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента (определёнными на числовых промежутках), то есть происходит сужение объёма понятия функции.

Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, что строить обучение функциональным представлениям следует на основе методического анализа понятия алгебраической системы. Функция при таком подходе выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения. Подход основан на трактовке понятия функции более позднего времени: вторая половина XIX в. – XX в.

Логический подход охватывает множества разной природы. Такое определение по структуре простое, позволяет чётко дать некоторые определения, относящиеся к функциональной линии, которые при генетическом подходе сделать нелегко (обратная функция и так далее).

Таким образом, если генетический подход оказывается недостаточным для формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает определённую избыточность. Отметим, что различия в трактовках функции проявляется с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшем изучении функциональной линии различия постепенно стираются, поскольку изучается в курсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные приложения в задачах.

В настоящее время в школьном курсе математики используется генетический подход.

1.4. Функциональная пропедевтика.

Основные задачи пропедевтики решают функциональные упражнения. Часть таких упражнений рассматривается в начальных классах, основное внимание им должно быть уделено в 5–6 классах.

Виды упражнений:

1. Упражнения с переменными, например, вычисление значений буквенных выражений при различных значениях переменных. Такие задания постепенно приводят к понятию функции и готовят учащихся к усвоению аналитического способа задания функции. При решении таких упражнений вычисления лучше записывать в форме таблицы, что готовит учеников к усвоению табличного способа задания функции.

2. Упражнения на составление формул при решении задач и наоборот задач по готовым формулам.

3. Упражнения на изменение результатов действий в зависимости от изменения компонентов, например, как изменяется сумма, если слагаемое изменяется на столько-то.

4. Упражнения на координатной прямой, координатной плоскости и в чтении графиков.

В 5 классе учащиеся должны уметь решать 2 задачи: изображать точку по координате и находить координату точки на луче, а в 6 классе эти задачи переносятся на координатную плоскость.

2. Введение понятия функции, способов её задания и исследования.

2.1. Введение понятия функции.

Для введения понятия функции используется конкретно-индуктивный путь, поэтому, полезно использовать метод проблемного изложения, разобрать несколько задач с подчёркиванием существенных признаков понятия (одна переменная зависит от другой, однозначная зависимость). Примеры должны быть разнообразными по содержанию, несущественные признаки должны варьироваться (несущественным является способ задания функции: формула, график, таблица). Необходимо подобрать контрпример для разных способов задания функции, выделить критерий, по которому можно определить, является ли зависимость функциональной (при каждом способе задания).

Критерии:

- Если зависимость задана таблицей, то в первой строчке не должно быть одинаковых чисел.

- В случае, когда функция задана графически, то любая прямая, параллельная оси Оу, должна пересекать график не более чем в одной точке.

- Если функция задана аналитически, то нужно следить за единственностью значений соответствующих зависимостей, например, .

При введении понятия «функция» следует обратить внимание на переход от одной формы задания функции к другой. В школе, как правило, он осуществляется по схеме: аналитическая модель ® таблица ® график. Для введения конкретных функций лучше использовать схему: словесная модель ® таблица ® график ® аналитическая модель.

Очень важно, чтобы учащиеся понимали, что одна и та же функция может быть задана и формулой, и таблицей, и графиком, но не всякая (некоторые функции, заданные графически, не могут быть заданы формулой, например, кардиограммы).

При введении записи необходимо, чтобы учащиеся понимали смысл буквы f, которая означает закон соответствия.

Способы исследования функций:

Содержание этой учебной задачи заключается в том, чтобы средствами, которыми владеют учащиеся в это время, устанавливать все свойства функции.

Выделяют три способа исследования функции: аналитический (исследование элементарными средствами и исследование с помощью производной), графический и комбинированный метод.

Результатом аналитического метода является построение графика функции. При исследовании используются уравнения и неравенства.

При графическом методе по точкам строится график, и с него считываются свойства.

Комбинированный метод используется в двух смыслах:

1. Часть свойств обосновывается аналитически, а часть – графически;

2. Сначала строится график по точкам, считываются свойства, а затем они доказывается без всякой опоры на график.

Необходимо уже в основной школе чётко разграничивать языки, на которых рассматриваются свойства функций: словесный, графический, аналитический.

Схема для чтения свойств функции :

2.2. Схема изучения конкретных функций:

1. Рассмотреть конкретные ситуации (или задачи), приводящие к данной функции.

На этом этапе изучения учащиеся должны убедиться в целесообразности изучения данной функции, исходя из соображений практики или необходимости дальнейшего развития теории.

2. Сформулировать определение данной функции, дать запись функции формулой, провести исследование входящих в эту формулу параметров.

На этом этапе изучения учащиеся получают чёткое представление о данной функции, о её характеристических свойствах, выделяющих данную функцию из множества других.

3. Ознакомить учащихся с графиком данной функции.

На этом этапе учащиеся учатся изображать изучаемую функцию графически, отличать по графику данную функцию от других, заданных графиком функций, устанавливать влияние параметров на характер графического изображения функции.

4. Исследовать функцию на основные свойства: области определения и значений, возрастание и убывание, промежутки знакопостоянства, нули, экстремумы, чётность или нечётность (или отсутствие этих свойств), периодичность, ограниченность, непрерывность.

5. Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.

Этот этап является этапом закрепления основных понятий и теоретических положений, связанных с изучаемой функцией, а также этапом формирования соответствующих умений и навыков.

Эта методическая схема является своеобразным планом – программой для изучения любой функции, но нужно иметь в виду, что содержание материала и практика обучения вносят в неё соответствующие коррективы.

Итак, при изучении функциональной линии необходимо в 5-6 классе проводить функциональную пропедевтику. Понятие «функция» лучше вводить конкретно-индуктивным путём, при использовании генетического подхода, а исследование конкретных функций проводить комбинированным методом.

2.3. Методика изучения линейной, квадратной и кубической функции в VII классе.

Большинство изучаемых в школьной математике функций образует классы, обладающие общностью аналитического способа задания функции из него, сходными особенностями графиков, областей применения. Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических для неё, с общим представлением о функции непосредственно, без выделения промежуточных звеньев. Однако длительность периода независимого рассмотрения каждой функции незначительна; в курсе алгебры вслед за введением понятия о функции сразу рассматривается первый класс – линейные функции. Для функций, входящих в класс, изучение происходит по более сложной схеме, поскольку в нём выделяются новые аспекты: изучение данной функции как члена класса и изучение свойств всего класса на примере «типичной» функции этого класса.

Типичный и одновременно важнейший для математики класс функций — линейные функции, которые мы рассмотрим с точки зрения изучения характерных для этого класса свойств и представлений, формируемых в курсе алгебры.

Первоначальное представление о линейной функции выделяется из рассмотрения задачи, обычно связанной с равномерным прямолинейным движением, а также при построении графика некоторой линейной функции. Рассмотрим второй из этих источников. Основная мысль, которую мы попытаемся обосновать, состоит в том, что рассмотрение графика отдельно взятой линейной функции не может привести к формированию представлений об основных свойствах графиков всех линейных функций.

Для этого рассмотрим два наиболее широко распространенных в начале изучения темы приема построения графиков линейной функции.

Первый способ. Использование «загущения» точек на графике. Предполагается следующая последовательность действий по этому приему:

А) нанесение нескольких точек;

Б) наблюдение — все построенные точки расположены на одной прямой; проведение этой прямой;

В) проверка: берем произвольное значение аргумента и вычисляем по нему значение функции; наносим точку на координатную плоскость — она принадлежит построенной прямой. Отсюда делается вывод о графике данной линейной функции.

Этот способ безусловно может привести к пониманию того, что график и любой линейной функции — прямая, т. Е. К выделению некоторого общего свойства класса линейных функций. Однако последовательное проведение приема требует большого времени и не может быть проделано более нескольких раз. Поэтому общее свойство будет при этом формироваться на основе изолированных примеров.

Второй способ. По двум точкам. Этот способ уже предполагает знание соответствующего свойства графиков линейных функций. Выявления новых свойств здесь не происходит, поскольку внимание, как и при первом способе, сосредоточивается на конкретной функции из класса. Заметим, что в обучении происходит последовательная смена этих способов: когда общее свойство графиков усвоено (при рассмотрении первого способа), начинают применять второй — он экономнее и обоснован геометрически, поскольку через две точки проходит одна и только одна прямая.

Для того чтобы изучить класс линейных функций в совокупности его общих свойств, необходимо поставить новую для учащихся познавательную задачу: исследовать класс функций у=kх+b в зависимости от параметров, установить геометрический смысл параметров. Эта задача возникает сразу же вслед за введением понятия функции. Наиболее естественный прием, который может быть применен, состоит в рассмотрении одновременно нескольких функций, у которых один из параметров изменяется, а другой остается постоянным. Простейшая система, реализующая этот прием, состоит из четырех заданий с их последующим анализом и установлением связей между ними.

3. Методика изучения понятия «функция» и общих свойств функций

При введении понятия функции, осуществляемого, как правило, конкретно-индуктивным способом, необходимо установить по смыслу предлагаемых для рассмотрения задач, что: а) значения переменной х принадлежат некоторому множеству; б) значения переменной  у  принадлежат некоторому множеству; в) каждому значению переменной х соответствует одно и только одно значение переменной у.

Для усвоения учащимися этих характерных признаков понятия функции применяются различные способы задания функции, основными из которых являются задание функции формулой, таблицей, графиком. Могут быть предложены следующие виды заданий (7 класс).

1. Какие  из формул а) – д)  задают  функцию? Ответ объясните. Для функций  укажите те значения, которые  принимает переменная у.

А) , х принимает значения  –1, ; 0; ; 2; ;

Б) , х принимает значения   0; 2,25; ; 7,001;

В) ; х принимает значения  –3, 75; –2; 0; 2,5; 3;

Г) ; х принимает значения  –2, –1; 2; 1;

Д) ; х принимает значения  –1; 0; 3.

2. Какие  из таблиц  а) – в) задают функцию? Ответ объясните. Для функций  укажите область определения  и множество значений.

А)

Б)

В)

3. Какие  кривые на рисунке  (см. Рис. 1, а – г) задают функцию? Ответ объясните. Для функций укажите область определения и множество значений.

А)                                                          Б)

В)                                                         Г)

Рис. 1

После решения каждой задачи желательно обобщать предложенные учащимися обоснования. Например: Если зависимая переменная в формуле находится под знаком модуля или возводится в квадрат, то соответствующая формула не задает функцию. Если в таблице есть столбцы с одинаковыми значениями аргумента и различными значениями зависимой переменной, то таблица не задает функцию. Если существует прямая, параллельная оси ОУ, пересекающая кривую в двух и более точках, то кривая не является графиком функции. Другими словами: если существует хотя бы одно х, по которому находится два и более значений у, то имеем дело не с функцией.

Ответ  на  второй вопрос третьего задания будет звучать так (в 7-м классе с понятием числового промежутка учащиеся еще не знакомы): область определения функции на рисунке б) — это числа –3, 3 и все числа от –3 до 3, а множество значений — числа –2, 4 и все числа от –2 до 4. Важно добиться от учеников понимания того факта, что область определения находится на оси ОХ (позже: числовой промежуток, являющийся ортогональной проекцией графика на ось ОХ), а множество значений — по оси ОУ (позже: числовой промежуток, являющийся ортогональной проекцией графика на ось ОУ) в том случае, когда функция задана графиком. Формированию умения находить область определения и множество значений функции, заданной графически, происходит постепенно при изучении алгебры в 7–9-х классах, в процессе периодического обращения к подобным задачам.

Важными видами задач, предшествующими приведенным выше, являются задачи на нахождение значения зависимой величины по значению независимой в том случае, когда функция задана формулой, таблицей или графиком, и нахождение значения независимой величины, которому соответствует известное значение зависимой. Таких задач, как правило, много в учебниках.

Задания, аналогичные тем, примеры которых приведены выше, должны предлагаться на соответствующем для учащихся уровне при повторном обращении к понятию функции в старших классах. Приведем пример.

Верно ли что:

А) ни одна из замкнутых кривых, изображенных на координатной плоскости, не является графиком функции;

Б) любая кривая на координатной плоскости, симметричная относительно оси абсцисс, является графиком функции;

В) любая кривая на координатной плоскости, симметричная относительно оси ординат, является графиком функции;

Г) кривая на координатной плоскости, симметричная относительно оси ординат, может являться графиком функции;

Д) кривая на координатной плоскости, симметричная относительно оси абсцисс, может являться графиком функции?