Анализ рядов динамики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение 3

1. АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ ГОДОВЫХ УРОВНЕЙ 5

2. СГЛАЖИВАНИЕ РЯДА ДИНАМИКИ 14

3. ВЫЯВЛЕНИЕ СЕЗОННОСТИ 27

4. ПРОГНОЗ ОБЪЕМОВ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОДУКЦИИ 30

5. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 34

Заключение 34

Список литературы 35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Статистика – самостоятельная общественная наука, имеющая свой метод и предмет исследования. Возникла она из практических потребностей общественной жизни. Уже в древнем мире появилась потребность подсчитывать численность жителей государства, учитывая людей, пригодных к военному делу, определять количество скота, размеры земельных угодий и дургого имущества. Информация такого рода была необходима для сбора налогов, ведения войн и т.д. В дальнейшем, по мере развития общественной жизни, круг учитываемых явлений постепенно расширяется.

Особенно возрастает объем  собираемой информации с развитием  капитализма и мирохозяйственных  связей. Потребности этого периода  вынуждали органы государственного управления и капиталистические  предприятия собирать для практических нужд обширную и разнообразную информацию о рынках труда и сбыта товаров, сырьевых ресурсах.

Основной задачей статистики является сбор, учет, обработка и  хранение данных (информации), отображающих ход общественного развития. Важнейшими составными элементами статистической методологии являются: 1) массовое наблюдение; 2) группировки, применение обобщающих (сводных) характеристик; 3) анализ и  обобщение статистических фактов и  обнаружение закономерностей в  изучаемых явлениях.

Чтобы охарактеризовать с  количественной стороны любое массовое явление, необходимо сначала собрать  информацию о составляющих его элементах. Это и достигается при помощи массового наблюдения, осуществляемого  на основе выработанных статистической наукой правил и способов.

Собранные в процессе статистического  наблюдения сведения подвергаются в  дальнейшей сводке (первичной научной  обработке), в процессе которой из всей совокупности обследованных единиц выделяются характерные части (группы). Выделение групп и подгрупп единиц из обследованной массы называется в статистике группировкой. Группировка  в статистике является основной обработки  и анализа собранной информации. Осуществляется она на основе определенных принципов и правил.

В процессе обработки статистической информации совокупность обследования единиц и выделенные ее части на основе применения метода группировок  характеризуются системой цифровых показателей: абсолютных и средних  величин, относительных величин, показателей  динамики и т.д.

Большое значение статистики в обществе объясняется тем, что  она представляет собой одно из самых  основных, одно из наиболее важных средств, с помощью которых хозяйствующий  субъект ведет учет в хозяйстве.

Учет является способом систематического измерения и изучения общественных явлений с помощью количественных методов.

Не всякое изучение количественных соотношений есть учет. Различные  количественные отношения между  явлениями можно представить  в виде тех или иных математических формул, и это само по себе еще  не будет учетом. Одна из характерных  особенностей учета -  подсчет отдельных  элементов, отдельных единиц, из которых  складывается то или иное явление. В  учете используются разные математические формулы, но их применение обязательно  связанно с подсчетом элементов. Учет является средством контроля и  мысленного обобщения процессов  общественного развития.

Лишь благодаря статистике управляющей органы могут получать всестороннюю характеристику управляемого объекта, будь то национальное хозяйство  в целом или отдельные его  отрасли или предприятия. Статистика дает сигналы о неблагополучии в  отдельных частях механизма управления, показывая, таким образом, необходимость  обратной связи – управляющих  решений. Общие принципы и методы научного познания служат фундаментом  для понимания и правильного  использования статистической методологии. Таким образом, статистика выступает  важнейшим инструментом познания и  использования экономических и  других законов общественного развития.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ ГОДОВЫХ УРОВНЕЙ

Таблица 1

Объемы реализации условной продукции  «А», произведенной предприятиями  одного из регионов РФ за пятилетний период (тыс. тонн)

 

Месяцы	1 - й год	2-й год	3-й год	4-й год	5-й год
январь	956,7	886,8	1 287,3	1 304,7	1 262,3
февраль	916,7	893,5	1 300,7	1 324,0	1 250,7
Март	1073,9	1080,1	1 577,3	1 589,0	1 612,0
апрель	1474,4	1433,7	2 061,3	2 088,7	1 950,0
Май	1708,7	1667,1	2 450,7	2 440,7	2 116,0
июнь	1891,9	1837,2	1804,5	2299,5	2 628,0
июль	2072,2	3 980,0	3 920,0	2 961,3	2 606,0
август	1276,0	2 420,1	2 368,7	2 367,6	2 178,2
сентябрь	1549,5	1 980,2	1 928,7	1 879,3	1 857,3
октябрь	1259,8	1 620,9	1 580,5	1 553,3	1 544,0
ноябрь	1 328,4	1 267,4	813,3	1 218,0	1 200,7
декабрь	1 300,3	1 279,8	1 242,7	1 172,0	1 144,7
Итого	16808,5	20346,8	22335,70	22198,10	21 349,90

 

 

Целью выполнения данного  задания является анализ изменения  годовых уровней объемов реализации продукции за отдельные периоды времени (в натуральном выражении), а также получение обобщающих оценок изменения годовых уровней ряда за весь исследуемый пятилетний период.

 

 

 

 

Расчёт цепных и базисных показателей, характеризующих  изменение объемов реализации произведенной  продукции за годовые промежутки времени

Аналитические показатели рядов  динамики строятся на основе сравнения  двух уровней ряда. Используют два способа сравнения уровней:

1) базисный способ, при  котором каждый последующий уровень  сравнивается с одним и тем  же уровнем, принятым за базу  сравнения (то есть база сравнения  – постоянная);

2) цепной способ, при котором  каждый последующий уровень сравнивается  с предыдущим уровнем (то есть  база сравнения – переменная).

Соответственно различают:

- базисные показатели, обозначаемые надстрочным индексом б;

- цепные показатели, обозначаемые надстрочным индексом ц.

Общеупотребительные обозначения  уровней ряда динамики:

y_i – данный (текущий) уровень;

y_i-1– предыдущий уровень;

y₀ – базисный уровень;

y_n – конечный уровень;

– средний уровень.

К числу основных аналитических  показателей рядов динамики, характеризующих  изменения уровней ряда за отдельные  промежутки времени, относятся следующие: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста.

1. Абсолютный прирост  (∆_у) характеризует, на сколько в абсолютном выражении увеличился или уменьшился уровень ряда за определенный промежуток времени. Показатель рассчитывается как разница между сопоставляемыми уровнями:

 

∆_уi^б = у_i – у_о,                                                                            (1)

∆_уi^ц = у_i – у_i-1.                                                                          (2)

Значение показателя со знаком “+” означает увеличение уровня, со знаком “-“ -  снижение.

Абсолютный прирост (сокращение) с переменной базой ∆_у^ц иначе называют скоростью роста (сокращения).

 Цепные и базисные  абсолютные приросты взаимосвязаны:

• сумма цепных абсолютных приростов равна базисному  абсолютному приросту за весь исследуемый период;
• разность между двумя смежными базисными приростами равна соответствующему цепному абсолютному  приросту.

 

2. Темп роста (Т_р) –  показатель интенсивности изменения уровней ряда за определенный промежуток времени. Рассчитывается как относительная величина, выраженная в коэффициентах, по формулам  

                                                          (3)

                             

                                                          (4)

или в процентах – по формулам:

                           

    (%)  ,                                          (5)

                         

  (%)                                              (6)

Темп роста всегда число  положительное. Если Т_р=100%, то значение уровня не изменилось; если Т_р>100%, то значение уровня повысилось, а если Т_р<100% - понизилось.

 

 Между цепными и  базисными темпами роста существует  взаимосвязь:

• произведение цепных темпов роста равно базисному темпу роста за весь исследуемы период;
• частное от деления двух смежных базисных темпов роста равно соответствующему цепному темпу роста.

 

3. Темп прироста (Т_пр) – показатель, характеризующий относительную скорость изменения уровней ряда в единицу времени. Он показывает, на сколько процентов один уровень больше (или меньше) другого, принятого за базу сравнения. Рассчитывается путем вычитания 100% из соответствующего темпа роста (базисного или цепного):

                                    Т_прi=Т_рi-100 (%)                                               (7)

4. Абсолютное значение (содержание)  1 % прироста (А_1%)  показывает, сколько абсолютных единиц уровней ряда приходиться на 1% прироста. Показатель рассчитывается как отношение цепного абсолютного прироста к соответствующему цепному темпу прироста или как одна сотая часть предыдущего уровня.

                          

                               (8)

Аналитические показатели годовых изменений уровней ряда, рассчитанные по формулам (1)-(8) для данных табл.1, приведены в табл.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

Показатели анализа динамики объемов реализации условной продукции «А», произведенной предприятиями одного из регионов РФ за пятилетний период

(тыс. тонн)

 

Годы	Объем реализации, тыс. тонн	Абсолютный прирост, тыс. тонн		Темп роста, %		Темп прироста, %		Абсолютное значение 1 % прироста, тыс.  тонн
		базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1-й	16808,5	-	-	-	-	-	-	-
2-й	20346,8	3538,3	3538,3	121,1	121,1	21,1	21,1	167,7
3-й	22335,70	5527,2	1988,9	132,9	109,8	32,9	9,8	203,0
4-й	22198,10	5389,6	-137,6	132,1	99,4	32,1	-0,6	229,3
5-й	21 349,90	4541,4	-848,2	127,1	96,2	27,1	-3,8	223,2

 

Как показывают данные табл. 2, объем реализации произведенной  продукции увеличивался, но в последнем  году объем реализации, резко уменьшился. В целом за исследуемый период объем реализации продукции увеличился  на 4541,4 тыс. тонн (гр.3) или на 27,1% (гр.7). Увеличение объема реализации продукции  носит замедленный характер, что  подтверждается постоянно снижающимися (по модулю) положительными значениями цепных абсолютных приростов: с 3538,3 до -848,2 тыс. тонн. (гр.4) и цепных темпов прироста: с 21,1% до -3,8% (гр.8). Увеличение объемов реализации продукции подтверждается также систематически увеличивающейся величиной абсолютного значения 1% прироста: со 167,7 до 223,2 тыс. тонн (гр.9).

 

 

 

Расчёт средних  показателей анализа ряда динамики объемов реализации произведенной  продукции

В табл. 2 представлены данные, характеризующие динамику изменения  уровней ряда за отдельные периоды  времени. Для обобщающей оценки изменений  уровней ряда за весь рассматриваемый  период времени необходимо рассчитать средние показатели динамики. В анализе  динамики развития явления  в зависимости  от вида исходного ряда динамики используются  различные средние показатели динамики, характеризующие изменения ряда динамики в целом.

1. Средний уровень  ряда динамики ( ) характеризует типичную величину уровней ряда. Показатель рассчитывается по разным формулам для различных видов рядов динамики – интервальных, моментных, с равноотстоящими и неравноотстоящими уровнями.

Для интервального ряда динамики с равноотстоящими уровнями времени  средний уровень ряда определяется как простая арифметическая средняя  из уровней ряда:

                                   

                                                                (9)

где n- число уровней ряда.

В случае неравноотстоящих уровней для расчета    используется средняя арифметическая взвешенная:

                                

                                                     (10)

где веса t_i– длительность интервалов времени (дней месяцев и т.д) между смежными уровнями.

Для моментного ряда динамики с равноотстоящими уровнями  средний  уровень ряда определяется по формуле  средней хронологической простой:

 

                                (11)

где n- число уровней ряда.

В случае неравноотстоящих уровней применяется формула  средней хронологической взвешенной:

             

                       (12)

 

2. Средний абсолютный прирост ( ) является обобщающей характеристикой индивидуальных абсолютных приростов и  определяется как простая арифметическая средняя из цепных абсолютных приростов:

                            (13)

где n- число уровней ряда.

3. Средний темп  роста ( ) – это сводная обобщающая характеристика интенсивности изменения уровней ряда, показывающая во сколько раз изменялись уровни ряда в среднем за единицу времени. Показатель может быть рассчитан по формуле средней геометрической простой:

                       

  ,                                        (14)

где величины Т_рi^ц выражены в коэффициентах, или же по формуле

                                            ,                                                                   (15)

где  n – число уровней ряда.               

4. Средний темп прироста ( )рассчитывают с использованием среднего темпа роста:

                                                      (16)

В проводимом исследовании  рассматривается интервальный ряд  динамики с равноотстоящими уровнями. С учётом этого обстоятельства для  расчета  использована формула (9), для расчета всех остальных средних показателей -  соответствующие формулы (13)-(16).

 

1. Среднегодовой объем  реализации продукции: 

2. Среднегодовое абсолютное  снижение объемов реализации  продукции:

       

3. Среднегодовой темп  снижения объемов реализации  продукции: 

 

4. Среднегодовой темп  сокращения объемов реализации  продукции:

               

За исследуемый период средний объем реализации произведенной  продукции составил 20607,8 тыс. тонн. Выявлена положительная динамика реализации продукции: ежегодное увеличение объема реализации составляло в среднем 1135,4 тыс. тонн или 4,8%.

График динамики  объемов  реализации продукции представлен  на рис.1

Рис.1 –Динамика  объемов реализации продукции за пятилетний период.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. СГЛАЖИВАНИЕ РЯДА ДИНАМИКИ

 

Целью выполнения данного  задания является выявление основной тенденции (тренда) ряда динамики объемов реализации продукции за годовой период, используя методы укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания, а также отражение полученных результатов с помощью графического метода.

Суть различных приемов  сглаживания рядов с целью  выявления трендов с водится  к замене фактических уровней  ряда расчетными уровнями, которые  в меньшей степени подвержены колебаниям, что способствует более  четкому проявлению основной тенденции  развития ряда.

 

Сглаживание ряда динамики методом укрупнения интервалов

Метод укрупнения интервалов – метод, при котором первоначальный ряд динамики заменяется другим рядом динамики, с большими временными промежутками (например, ряд недельных данных можно преобразовать в ряд помесячных данных, ряд квартальных данных заменить годовыми уровнями). Возможно прямое суммирование уровней укрупненного периода или же расчет средних уровней за укрупненный период.

В соответствии с заданием 2 производится укрупнение интервалов последнего (пятого) года рассматриваемого пятилетнего периода путём перехода от помесячных к поквартальным данным об объеме реализации  продукции (табл.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3

Расчётная таблица для определения  укрупнённых (поквартальных) данных об объеме реализации продукции

Месяцы	Объем реализации продукции, тыс. тонн	Кварталы	Объем реализации продукции, тыс. тонн	Среднемесячный объем реализации продукции, тыс. тонн
Январь	1 262,3	первый	4125,0	1375,0
февраль	1 250,7
Март	1 612,0
Апрель	1 950,0	второй	6694,0	2231,3
Май	2 116,0
Июнь	2 628,0
Июль	2 606,0	третий	6641,5	2213,8
Август	2 178,2
сентябрь	1 857,3
Октябрь	1 544,0	четвёртый	3889,4	1296,5
Ноябрь	1 200,7
декабрь	1 144,7
Итого	21349,90	Итого	21349,9	1779,2

 

На основе среднемесячных данных табл. 3 построена эмпирическая кривая, представляющая собой график динамики развития изучаемого явления (рис. 2)

 

Рис. 2. График поквартальной динамики среднемесячных объемов реализации продукции

 

Данные табл. 3 и рис. 2, показывают, что в результате применения метода укрупнения интервалов проявилась тенденция развития явления, для отображения которой целесообразно использовать параболическую функцию .

 

Сглаживание ряда динамики с применением  скользящей средней

Метод скользящей средней – метод, при котором формируют укрупнённые интервалы, состоящие из одинакового числа уровней, - трехзвенные, пятизвенные, семизвенные и т.д. При этом соблюдается правило: каждый последующий укрупненный интервал получают, путем постепенного смещения начала отсчета интервала на один уровень (отбрасывается один уровень в начале интервала и добавляется один следующий). Для трёхзвенного укрупнения интервалов :

первый интервал: y₁, y₂, y₃;

второй интервал: y₂, y₃, y₄;

……………………………;

последний интервал:  y_n-2, y_n-1, y_n.

 

По каждому из полученных укрупненных интервалов определяется средний уровень. Таким образом, при расчете средних они как  бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу (от сюда название «скользящая средняя»). Выровненные данные отображаются эмпирической кривой.

При выполнении задания 2 на основании исходных данных табл. 1 для последнего (пятого) года определены значения скользящей трёхзвенной суммы, а также рассчитаны значения скользящей средней.

При этом сначала было произведен расчет средней за первые три месяца:

( )=1375,0 тыс. тонн

 Затем определена средняя  за три месяца, начиная с февраля:

( )=1604,2 тыс. тонн.

и т.д. Полученный новый ряд динамики, состоящий из скользящих средних  уровней, представлен в табл.4.

Таблица 4

Расчётная таблица  для определения значений скользящей средней

Месяцы	Объем реализации, тыс. тонн	Скользящая трёхзвенная сумма, тыс. тонн	Скользящая средняя, тыс. тонн
январь	1 262,3	-	-
февраль	1 250,7	4125,0	1375,0
март	1 612,0	4812,7	1604,2
апрель	1 950,0	5678,0	1892,6
май	2 116,0	6694,0	2231,3
июнь	2 628,0	7350,0	2450,0
июль	2 606,0	7412,2	2470,7
август	2 178,2	6641,5	2213,8
сентябрь	1 857,3	5579,5	1859,8
октябрь	1 544,0	4602,0	1534,0
ноябрь	1 200,7	3889,4	1296,5
декабрь	1 144,7	-	-

 

Эмпирическая кривая, иллюстрирующая сглаженный ряд динамики, построенный  методом скользящих средних  представлена на рис. 3.

Рис. 3. График динамики объемов реализации продукции рассчитанных методом скользящей средней

Как показывают данные табл.4, а также рис.3, значения скользящей средней до середины года систематически возрастали, но к концу года снизились  до исходного уровня (даже несколько  ниже его), что свидетельствует о  параболической тенденции изменения  объемов реализации продукции за последний год рассматриваемого периода.

 

Сглаживание ряда динамики с помощью метода аналитического выравнивания

В отличие от двух предыдущих методов (укрупнения интервалов, скользящей средней) метод аналитического выравнивания позволяет не только выровнять данные, но и представить развитие ряда динамики в виде функции времени у =f(t).

При таком подходе изменение  явления связывают лишь с течением времени: считается, что влияние  других факторов несущественно или  же косвенно сказывается через фактор времени. Правильно построчная модель у=f(t) должна соответствовать характеру изменения тенденции изучаемого явления. Выбранная функция у=f(t) позволяет получить выровненные (теоретические) значения уровней ряда динамики.

Для отображения трендов  применяются различные функции: полиномы разной степени, экспоненты, логистические функции и т.д.

Оценка параметров в  моделях у =f(t) находится методом наименьших квадратов (МНК), суть которого состоит в определении таких значений параметров (коэффициентов уравнения), при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических была бы минимальной:

                          

                                                          (17)

где y_i- фактическое значение уровня ряда динамики; - расчетные значения; n – число уровней ряда.

 

Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой

Аналитическое уравнение  прямой имеет вид:     

                      

,                                                           (18)

где t – порядковый номер периодов времени (или моментов);

      – выровненные значения ряда динамики.

Система нормальных уравнений  в данном случае имеет вид:

                 

                                      (19)

Отсчёт времени удобно производить так, чтобы сумма  показателей времени ряда динамики была равна нулю, то есть: