Обучение младшего школьника решению нестандартных задач

I.Введение.

      Решение текстовых задач занимает  большое место в обучении математике  в начальной школе. От того, насколько глубок и разнообразен  подход к решению задач, во  многом зависит успех дальнейшего  обучения математике.

      Разнообразие видов простых и  составных задач в учебниках  для 1-4 классов не только способствует  развитию математического мышления  и формированию приёмов самостоятельной  работы, но и служит одним из  основных методов по отработке  и закреплению теоретических  основ начального курса математики.

      Наибольшую трудность у учащихся вызывают задачи, текст которых начинается с вопросительной формы, и задачи, в которых вопрос сформулирован в непривычной для учащихся форме. Но, пожалуй, самую большую трудность вызывает не сам текст задачи, а поход к прочтению и осмыслению её содержания и выбор действия при решении.

      На первой стадии обучения  решению задач главное место  отводится работе над усвоением  терминологии, относящийся к задаче  и её решению, но в тоже  время уделяется внимание к  формированию у учащихся элементарных  умений работать над задачей.  Этому способствуют различные  приёмы выполнения всех этапов  решения задач.

      Важно сформировать у учащихся  элементарные навыки и умения решать текстовые задачи, что способствует дальнейшему усвоению последующего курса математики. 
 

II.Текстовые задачи.

1.Задача, её  главные элементы.

      Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения.

    Любая текстовая задача состоит  из двух частей: условия и требования (вопроса).

      Обязательными элементами арифметической задачи являются неизвестное (искомое) число (или несколько искомых чисел) и данные числа.

      Основная особенность сюжетных  текстовых задач состоит в  том, что в них не указывается  прямо, какое именно действие (действия) должно быть выполнено  над данными числами для получения искомого. Текст задачи должен, поэтому содержать какие-то косвенные указания на ту связь, которая существует между данными числами и искомым и которая определяет выбор нужных арифметических действий - это условие задачи. Условие, которое призвано раскрыть связь между данными числами и искомыми, естественно, включает числовые данные задачи.

      Итак, основные элементы задачи  – условие и требование (вопрос). Числовые (или буквенные) данные представляют собой элементы условия. Искомое всегда заключено в вопросе. Однако в некоторых случаях задача формируется так, что вопрос может включить в себя часть условия или вся задача излагается в форме вопроса.

      Всё это необходимо учитывать  при обучении детей решению  задач. Один из важных моментов  обучения состоит в том, чтобы  дети научились самостоятельно выполнять первичный анализ текста задачи, отделяя известное от неизвестного. Существенно, чтобы они умели не только вычленить из задачи числовые данные, но и объяснить, что обозначает каждое из содержащихся в ней чисел в контексте самой задачи, что сказано про, то число, которое нужно найти, и т. п.

      Что значит решить задачу? На  первый взгляд может показаться, что это вопрос ясен, что он  не нуждается в обсуждении. Однако  это не совсем так.

      Решить задачу – это значит ответить на поставленный в ней вопрос. Именно так чаще всего понимают требование решить задачу сами дети. Довольно часто бывает, что как только учитель сообщил задачу, дети сразу же дают ответ на её вопрос. Но это далеко не всегда удовлетворяет учителя. Он стремиться выяснить, как получен этот ответ. На основе, каких рассуждений, с помощью какого арифметического действия и т. п.

      Для того чтобы не возникло  недопонимания между учителем  и учащимися, необходимо разъяснить  детям смысл требования «решить  задачу».

      Решить задачу – это значит объяснить (рассказать), какие действия нужно выполнить над данными в ней числами, чтобы после вычислений получить число, которое в ней нужно узнать. Записать решение задачи – значит с помощью цифр и знаков действий показать, что нужно сделать, чтобы неизвестное число, выполнить вычисления и дать ответ на вопрос задачи. 

2.Система  задач, представленных в курсе  начальной школы.

      Отбор задач и система их  расположения определяется целями, строятся с учётом тех функций,  которые задачи выделяют в  курсе.

      Текстовые задачи как конкретная  наглядная основа при ознакомлении  детей с новыми математическими  знаниями (при формировании новых  закономерностей и пр.) используются  в течение всех лет начального обучения.

      Система их расположений, естественно,  совпадает с логикой развёртывания  вводимых понятий, ознакомление  с арифметическими действиями  и их свойствами и т. п.  Особенность задач, которые отбираются  в этих целях, - максимальная их  простота. Они должны быть совершенно понятны, близки детям по сюжету, наиболее просто изложены, не содержать никаких, новых для детей слов, которые требовали бы дополнительных пояснений.

      Именно этой цели подчинена большая часть простых задач, широко представленных в программе и в учебниках для каждого года обучения.

      Итак, первая группа задач, рассматриваемых в начальном курсе математики, - задачи, направленные на раскрытие смысла арифметических действий.

      Каждая из этих задач вводится, естественно, в то время, когда программой предусмотрено ознакомление с соответствующими действиями.

      Ко второй группе простых задач относятся задачи, раскрывающие различные отношения между числами.

      Третья группа простых задач, используемых в целях конкретизации, большей наглядности и доступности при рассмотрении некоторых новых вопросов арифметической теории, - задачи, раскрывающие связи между компонентами и результатами арифметических действий.

      Простые задачи часто используются  в начальном курсе математики  и при ознакомлении детей с  другими новыми вопросами программы.

      С целью формирования у детей  умения анализировать задачу, выделять  в ней данные и искомое, те  связи между ними, которые отражены  в тексте задачи, сознательно  подходить к выбору нужного действия, вводятся и так называемые задачи, выраженные в косвенной форме.

      Подбор и расположение простых  текстовых задач для начальных  классов подчиняется логике рассмотрения  новых вопросов арифметической  теории и вместе с тем отвечает  требованию постепенного усложнения заданий. Усложнение заданий происходит при введении новых величин, при рассмотрении новых для детей связей между ними. Наряду с задачами в тех же целях с успехом используются в начальном обучении близкие к ним по характеру упражнения, которые условно можно назвать задачами вопросами.

      К задачам-вопросам примыкают  и упражнения, которые условно  называют задачами с недостающим  вопросом или с недостающими  данными.

      Аналогично тому, как простые  задачи используются в качестве  наглядной опоры при рассмотрении  таких вопросов теории, как, например, связь между компонентами и  результатами действий, значительная  группа составных задач подчинена  цели осознания детьми, свойств  рассматриваемых действий.

      Составные задачи, как и простые, используются и при ознакомлении с некоторыми новыми понятиями, новыми действиями, они помогают детям осознать новое для них понятие дроби числа и другие вопросы курса.

      Таким образом, ряд составных  задач, как и простые, используются  в качестве наглядной конкретной  основы при рассмотрении новых  понятий, свойств действий и  т. п.

      Другая группа составных задач,  занимающих относительно большое  место в учебниках для начальных  классов, связана с  работой  над различными отношениями. Такие задачи вводятся после того, как дети достаточно хорошо усвоят количественные отношения и научатся применять свои знания при решении простых задач , включающих слова «на столько-то (во столько-то раз) больше (меньше)» в различном контексте.

      Составные задачи дают возможность  продолжить и значительно расширить  и углубить работу, направленную  на ознакомлении детей с различными  величинами и зависимостью между  ними.

      Решение текстовых сюжетных задач, включающих различные величины, позволяет познакомить детей с различными случаями взаимосвязи между величинами.

      Подбор и система расположения  задач проведены в начальном  курсе математики с учётом  всех обстоятельств. Представленные  в нём задачи позволяют учителю  постепенно повышать требования  к учащимся в отношении самостоятельного  выполнения отдельных элементов  или всего решения в целом.

          Задачи, предназначенные для решения с помощью и под руководством учителя, чередуются в курсе с более лёгкими и знакомыми детям задачами, которые могут быть использованы в качестве материала для самостоятельной работы детей.

      Система расположения задач в  курсе подчинена не только  цели создания условий для  постепенного нарастания трудности  заданий, но и цели более  частого сопоставления, противопоставления, сравнения различных (но в чём-то схожих между собой) задач.  

     Методы обучения определяются  теми целями, которые преследуются  при решении текстовых задач,  теми функциями, которые этот  вид упражнений выполняет в  процессе обучения математике  в начальных классах школы,  особенностями содержания решаемой  задачи.

    

3.Этапы решения  задач и приёмы их выполнения.

       I)Восприятие и осмысление задачи.

       Цель: понять задачу, т. е. установить смысл каждого слова, словосочетания, предложения и на этой основе выделить множества, отношения, величины, зависимости, известные и неизвестные, искомое, требование.

       Приёмы выполнения:

1)Правильное  чтение задачи в случае, когда  задача дана текстом.

2)Правильное слушание при восприятии задачи на слух.

3)Представление  ситуации, описанной в задаче.

4)Разбиение  текста на смысловые части.

5)Переформулировка  текста задачи:

- замена  термина содержательным описанием;

- замена  содержательного описания термином;

- замена  некоторых слов синонимами или  другими словами, близкими по  смыслу;

-   дополнение текста пояснениями;

- замена  числовых данных буквенными;

- замена  буквенных данных числовыми.

6)Построение  материальной или материализованной  модели:

- предметной;

- геометрической;

- условно-предметной;

- словесно-графической;

- табличной.

7)Постановка  специальных вопросов.

II)Поиск плана решения.

       Цели: составить план решения.

      Приёмы выполнения:

  1)Рассуждения «от вопроса к данным» и (или) «от данных к вопросу» без построения графических схем:

- по данному  тексту;

- по модели.

2)Рассуждения  «от вопроса к данным» и  (или) «от данных к вопросу»  с построением графических схем:

- по данному  тексту;

- по модели.

3)Замена  неизвестного переменной и перевод  текста на язык равенств и  (или) неравенств с помощью  рассуждений «от вопроса к  данным» и (или) «от данных  к вопросу»:

- по данному  тексту;

- по модели.

III)Выполнение плана решения.

Цель: найти ответ на вопрос задачи.

Приёмы  и формы выполнения:  

1. Устное выполнение каждого пункта плана.

2.Письменное  выполнение каждого пункта плана:

- арифметического  решения;

- алгебраического  решения;

- графического  и геометрического решения;

- табличного  решения;

- логического  решения.

3.Выполнение  решения путём практических действий  с предметами:

- реальное;

- мысленное.

4.Выполнение  пунктов плана с помощью вычислительной  техники или другтх вычислительных  средств.

IV.Проверка решения.

Цель: установить соответствует ли процесс и результат решения образцу правильного решения.

Приёмы  выполнения:

1)Прогнозирование  результата и последующее сравнение  хода решения с прогнозом.

2)Установление  соответствия между результатом  решения и условием задачи: введение  в текст задачи вместо вопроса  (требования) ответа на него (утверждение  о выполнении требования), получение  всех возможных следствий из  полученного текста, сопоставление  результатов друг с другом  и информацией, содержащейся в  тексте.

3)Решение  другим методом или способом.

4)Составление  и решение обратной задачи.

5)Определение  смысла составленных в процессе  решения выражений.

6)Сравнение  с правильным решением – с  образцом хода и (или) результата  решения.

7)Повторное решение тем же методом и способом.

8)Решение  задач «с малыми числами» с  последующей проверкой вычислений.

9)Решение  задач с упрощёнными отношениями  и зависимостями с последующим  восстановлением отношений и  зависимостей, данных в задаче.

10)Обоснование  (по ходу) каждого шага решения  через соотнесение с более  общими теоретическими положениями.

V)Формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнении требования).

Цель: дать ответ на вопрос задачи (подтвердить факт выполнения требования задачи).

Формы и способы выполнения:

1)Построение  развёрнутого истинного суждения.

2)Формулировка  полного ответа на вопрос задачи  без обосновывающей части устного  или письменного.

3)Формулировка  краткого ответа устного или  письменного с помощью специальных  знаков.

VI)Исследование решения.

Цель: установить, является ли данное решение (результат решения) единственным или возможны и другие результаты (ответы на вопрос), удовлетворяющие условию задачи.

Приёмы  выполнения:

1)Изменение  результата решения в соответствии  с его смыслом и установление  характера изменений в отношениях  между изменённым результатом  и условием задачи.

2)Подбор  другого результата решения и  установление соответствия (возможности  соответствия) условию задачи. Оценка  степени возможности удовлетворения  условию задачи других результатов. 
 

4.Виды работы  с текстовыми задачами.

       Текстовые задачи на уроке  математики в начальных классах  могут быть использованы для  самых разных целей: для подготовки  к введению новых понятий (в  частности , арифметических действий); для ознакомления с новыми  понятиями, свойствами понятий;  для показа области применимости  изучаемых понятий; для углубления  и расширения формируемых математических  знаний и умений; для формирования  вычислительных навыков; для обучения  методам и приёмам решения  задач на различных этапах  этого обучения; для многих иных  целей. 

       Наиболее распространённый вид  работы с задачами на уроке  – это решение задач. 

       Варианты организации и содержания  решения задач на уроке:

1)Фронтальное  (коллективное) решение задачи под  руководством учителя.

2)Фронтальное  (коллективное) решение задач под  руководством учащихся.

3)Самостоятельное  решение задачи учащимися:

- самостоятельный  выбор средств, методов, способов  и форм решения; 

- применение  указанных учителем или учебником  средств, методов и способов  решения.

        В зависимости от содержания решаемых задач можно выделить следующие виды решения задач:

1)Решение  задач с лишними данными.

2)Решение  задач с недостающими данными.

3)Решение  задач определённого вида при  разных классификациях видов.

4)Решение  нестандартных задач разных видов  (логических, комбинаторных, на смекалку  и т. п.).

       Другой вид работы – выполнение части решения.

       В методической литературе описано  также довольно большое число  дополнительной работы над уже решённой задачей.

       Виды дополнительной работы с решённой задачей:

1)Изменение  условия задачи так, чтобы задача  решалась другим действием.

2)Постановка  нового вопроса к уже решённой  задаче, постановка всех вопросов, ответы на которые ещё можно  найти по данному условию.

3)Сравнение содержания данной задачи и её решения с содержанием и решением другой задачи.

4)Решение  задачи другим способом или  с помощью других средств –  другим методом: графическим,  алгебраическим и др.

5)Изменение  числовых данных задачи так,  чтобы появился новый способ  решения или, наоборот, чтобы один  из способов решения стал невозможен.

6)Исследование  решения.

7)Обоснование  правильности решения (проверка  решения задачи любым из известных  приёмов).

       Следующие виды работы с задачами  не включают в себя явное и полное решение задачи.

        

       Виды работ:

1)Установление  соответствия между содержанием  задачи и схематическим рисунком  и содержанием задачи.

2)Выбор среди  данных задач (среди задач на  данной странице учебника, задач,  записанных на доске, карточке  и т. п.) той, которая соответствует  данному рисунку (чертежу, таблице,  краткой записи).

3)Классификация  простых задач по действиям,  с помощью которых они могут  быть решены.

4)Определение  числа арифметических способов, которыми может быть решена  данная задача.

5)Обнаружение  ошибок в решении задачи.

6)Решение вспомогательной задачи или цепочки таких задач перед решением трудной для детей задачи.

7)Дополнение  содержания задачи недостающими  для решения данными или отношениями.

8)Выбор на  странице тех задач, которые  ученик может решить устно  (знает, как решить).

       Важно помнить, что нет и  не может быть раз и навсегда  принятого алгоритма работы с  задачами на уроке. Вид и  форма организации деятельности  детей с помощью задач полностью  зависит от цели, для достижения  которой задача включена в  урок. 
 

III.Нестандартные задачи.

1.Понятие  о нестандартной задачи.       

       В общей системе обучения задачи  играют особую роль. Через решение задач осуществляется необходимая связь теоретических знаний с практикой, умение решать задачи определяет степень обученности, общей подготовленности детей. В них заложены больше возможности для повышения общего и математического образования школьников: развитие смекалки, начал исследовательской работы, логического мышления.

      Раздел обучения решению задач  считается наиболее трудным. И  это естественно, так как решение  задач вообще и математических  в частности процесс творческий, требующий продуктивного подхода,  проникновения в скрытые в  каждой задаче связи и зависимости, которые зачастую могут быть необычными, нестандартными, а иногда уникальными.

      Главная цель задач – развивать  творческое и математическое  мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию» математических фактов.

       Достичь этой цели с помощью  обычных стандартных задач невозможно. Для формирования самостоятельности  мышления, воспитания творческой  активности необходимо включать  нестандартные задачи в систему  упражнений и задач, используемых  на уроке, во внеклассной работе.

       Решение нестандартных задач  вызывает у детей наибольшие  затруднения. 

       «Нестандартные задачи – это  такие, для которых в курсе  математики не имеется общих  правил и положений, определяющих  точную программу их решения» - считает Фридман Л. М.

       Однако следует заметить, что  понятие «нестандартная задача»  является относительным. Одна  и та же задача может быть  стандартной или нестандартной  в зависимости от того, знакомы  ли ученики со способами решения  таких задач.

       На детской площадке 8 двухколёсных и трёхколёсных велосипедов. Всего у них 21 колесо. Сколько двух- и сколько трёхколёсных велосипедов на площадке?

       Эта задача является нестандартной до тех пор, пока учащиеся не познакомятся со способом её решения. Но если учащиеся после решения этой задачи предложить несколько аналогичных задач, такие задачи становятся для учащихся стандартными.

       Таким образом, нестандартная задача – это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, т. е. учащиеся не знают заранее ни способов её решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.      

     

2.Виды нестандартных  задач.

       Первый тип – задачи с «естественным рассуждением», их педагогическая цель состоит в том, чтобы приучить школьников проводить последовательную цепочку рассуждений (к чему сводится решение любой которых нет сколько- либо необычных математических идей, такие, как простейшие логические и комбинаторные задачи, математические ребусы.

       Примеры: 1)На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и купцы, которые всегда лгут. Островитянин в присутствии другого островитянина говорит, что по крайней мере один из них лжец. Кто они?

2)Миша, Серёжа, Дима, Валера и Костя рисовали маширы:

-кто-то рисовал  пожарную машину красным карандашом;

-кто-то - гоночную  машину синим фломастером;

-кто-то - грузовик  коричневой ручкой;

-кто-то – легковую машину синим карандашом;

-кто-то –  легковую машину коричневым фломастером.

Миша и  Серёжа рисовали карандашом. Сережа и Дима рисовали одинаковым цветом. Кто что рисовал?