Ізоморфізм. Гомоморфізм

Зміст

Вступ

1. Поняття про алгебраїчну операцію

2. Ізоморфізм. Гомоморфізм 

Висновок 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Як показала більш ніж півстолітня  практика імітаційного моделювання  економічних систем, об'єктів і  процесів, питання адекватності та придатності створюваних моделей  завжди займали належне їм місце  в теоретичних дослідженнях і  практичних додатках. Зрозуміло, пропаговані представниками різних шкіл і напрямів концепції і методи нерідко «ортогональні» один одному. Визнаючи право кожного дослідника на самостійність суджень, хотілося б відзначити якусь, не завжди помітну, недбалість або недоробленість методологічного обгрунтування технологічних аспектів імітаційного моделювання. Зокрема, одним з непрямих свідчень тому може служити визначення поняття моделі, яке дав Ю.І. Рижиков, автор широко відомої і заслужено популярної книги «Імітаційне моделювання. Теорія і технології »:« Модель є матеріально або теоретично сконструйований об'єкт, який замінює (представляє) об'єкт дослідження в процесі пізнання, знаходиться у відношенні подібності з останнім (ізоморфізм, аналогія, фізична подібність і т.п.) і більш зручний для дослідження » . Певна гносеологічна неточність наведеного визначення (що стосується невиправданої підміни гомоморфізму изоморфизмом) змусила автора цієї роботи продовжити розпочате в обговорення підходів до оцінки адекватності імітаційних моделей - зокрема, до з'ясування концептуальної та інструментальної ролі понять ізоморфізму і гомоморфізму в сучасному імітаційному моделюванні.

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгебраїчна операція

Вже в курсі вищої алгебри  читач зустрічався з множинами, в яких визначені операції алгебри. Основну роль грали в цьому  курсі поля і кільця, тобто множини  з двома операціями - Склалося-ням  і множенням. Вельми часто, однак, в  різних додатках зустрічаються безлічі, в яких визначена (або в даний  момент розглядається) лише одна алгебраїчна  операція. Нагадаємо визна-поділ  цього поняття.

Нехай дано деякий безліч М. Ми говоримо, що в М визначена бінарна алгебраїчна  операція, якщо всяким двом (різним або  однаковим) елементам множини М, узятим в певному порядку, по деякому  закону ставиться у відповідність  цілком певний третій елемент, що належить до цього ж безлічі *).

Вимога однозначності операції і вимога її здійсненності для  будь-якої пари елементів входять, отже, у визначення алгебрачеської операції. З іншого боку, в цьому визначенні міститься вказівка ​​на порядок, в якому беруться елементи множини М при виконанні операції. Іншими словами, не виключається можливість того, що парі елементів а, b з М і парі b, а будуть поставлені в відповідність різні елементи з М, тобто що розглянута операція буде некомутативної.

Можна вказати численні приклади числових множин з однією операцією, що задовольняють  даному вище визначенню. Ми переді-ставимо  читачеві побудова таких прикладів  і лише зазначимо, що нашим визначенням  не задовольняють, наприклад, безліч негативних цілих чисел щодо множення, безліч непарних чисел відно-сительно складання, а також безліч всіх дійсних чисел, якщо як операції розглядається розподіл - останнє зважаючи невикона-німості  поділу на нуль.

Добре відомі також різні приклади алгебраїчних опера-цій, вироблених нема над числами. Такі додавання векторів і-мірного векторного простору, векторне множення векторів тривимірного евклідового  простору, множення квадратних матриць  порядку п,

додавання дійсних функцій дійсного змінного, розумно-ються цих же функцій  і т. д. Прикладом алгебраїчної операції, дуже важливим для подальшого, буде множення підстановок. Підстановка  п-го ступеня є, як відомо, взаємно  однозначним відображенням системи  першого п натуральних чисел  на себе. Результат послідовно-го виконання  двох підстановок n-го ступеня знову  буде деякою під-становки n-го ступеня, званої твором першого із заданих  підстановок на другу. Так, якщо дано при n=3 підстановки

то їх твором буде підстановка

Алгебраїчна операція в безлічі  підстановок n-го ступеня

визначена. Легко бачити, що вона є  некомутативної; так, для даних вище підстановок а і Ь твір Ь  на а буде мати вигляд

При вивченні множин з одного алгебраїчній операцією ми будемо, як правило, вживати  мультипликативную термінологію і  символіку: операцію називатимемо множенням, а результат застосування операції до пари елементів а, b - твором аb цих елементів. У деяких випадках буде зручніше, однак, використовувати аддитивную запис, тобто називати операцію складанням і говорити про суму а + b елементів а, b.

Ми вже відзначили, що у визначення алгебраїчної операції не включене вимога її коммутативности, тобто справедливості для будь-яких елементів а, b з безлічі М рівності аb = bа. Прикладами некомутативних операцій будуть множення квадратних матриць порядку п при п> 2, множення підстановок ступеня п, притому не тільки при п = 3, як показано вище, але і при всіх п> 3, а також векторне множення векторів тривимірного евклідового простору. Віднімання чисел також можна вважати прикладом некомутативної опе-рації.

Визначення алгебраїчної операції не містить також вимоги, щоб ця операція була асоціативної, тобто  щоб для будь-яких елементів а, Комерсант, з з безлічі М виконувалася рівність

(Аb) с = а (bс) х).

Прикладом не асоціативної операції служить векторне множення векторів тривимірного простору, не асоціативно  і віднімання цілих чисел. З іншого боку, множення матриць, як відомо, асоціативно. Асоціативним є і множення підстановок, як випливає з наступ-ного більш  загального результату.

Нехай дано деякий безліч S, кінцеве  або нескінченне. Рас-дивимося всілякі  однозначні відображення безлічі S в  себе, тобто відображення, кожне  з яких ставить у відповідність  кожному елементу з S цілком певний елемент цього ж безлічі, хоча, бути може, різні елементи з S відображаються в один і той же елемент і, з  іншого боку, в S можуть існувати елементи, в які ніщо невідображається. Якщо множенням таких відображень  ми назвемо їх послідовне виконання, то отримаємо в безлічі відображень  асоціативну алгебраїчну операцію.

Справді, нехай дано три однозначних  відображення безлічі S в себе Нехай, далі, а - довільний елемент із S і нехай при відображенні ф він переходить в елемент b, який в свою чергу перекладається відображенням в елемент с, а цей, нарешті, при відображенні переходить в елемент d. тоді відображення переводить елемент а в елемент с, тобто при відображенні апереходить в d. Однак відображення переводить елемент b в елемент d, а тому і при відображенні а також переходить в d. Цим доведено, що відображення и збігаються.

Подивимося, які слідства можна  вивести з справедливості для  операції, заданої в деякій множині  М, закону асоціативності. З визначення алгебраїчної операції слід існування  і єдиний-відальність твори для  будь-яких двох елементів з М, узятих у визначеному порядку. Це не дає  можливості, однак, говорити в загальному випадку про твір трьох елементів - твір еле ¬ тів а, b і з, взятих в зазначеному порядку, може, взагалі  кажучи, залежатиме від того, множиться  чи твір а на b на елемент з або  а множиться на твір b на с. Наявність  закону асоціативності дозволяє одне-значним  чином говорити про твір трьох  елементів з М: елемент (ab) с, рівний елементу а (bс), буде просто позначатися  через abc. Зрозуміло, що твір трьох елементів  буде змінюватися, взагалі кажучи, при  перестановці співмножників.

Більш того, асоціативність операції дозволяє говорити одне-значним чином  про твір будь-якого кінцевого  числа елементів з М, взятих у  певному порядку, тобто дозволяє довести незалежність остаточного результату від первісного розподілу дужок. Доведемо це для випадку п множників (n> 3), припускаючи, що для меншого числа множників це вже доведено. Нехай дана впорядкована система з п елементів множини М:

в якому деяким чином розподілені дужки, що вказують на порядок, в якому повинна виконуватися операція. Здійснюючи послідовно зазначені дужками перемноження, ми в якості останнього кроку повинні будемо виконати множення твори перших i елементів на добуток Так як ці твори складаються з меншого числа множників і тому, за припущенням, однозначно визначені, то нам залишається довести можливість переходу від твору к добудку Це досить проробити, очевидно, для випадку і досягається це простим застосуванням закону асоціативності: якщо то

Зрозуміло, що цим шляхом ми не отримуємо права говорити про добуток нескінченної кількості елементів з М.

Безліч М, в якому задана алгебраїчна  оцерація, володіє іноді одиницею, тобто таким елементом 1, що

для всіх а з М. В М може існувати лише один елемент з цією властивістю: якщо є ще друга одиниця 1 ', то твір 1-1' дорівнюватиме і 1 ', і 1, звідки 1' = 1. Уразі адитивної записи одиниця  буде називатися нулем і позначатися  символом 0.Прикладами множин з алгебраїчною операцією, що не володіють одиницею (або нулем), служить безліч натуральних  чисел що-до операції додавання, безліч парних чисел щодо опера-ції множення, а також безліч векторів тривимірного евклідового простору щодо операції векторного множення. З іншого боку, множення квадратних матриць порядку  п володіє одиницею - нею служить, як відомо, одинична матриця. Існує  одиниця і для множення підстановок  ступеня п - легко бачити, що це буде тожде-ственная підстановка

 

Взагалі в множині всіх однозначних  відображень деякого множини 5 в  себе, з послідовним виконанням відображень  в якості множення, одиницею служить  тотожне відображення множини Б  на себе.

Введемо, нарешті, поняття зворотної  операції. Ми знаємо з курсу вищої  алгебри, що у всякому кільці віднімання є операцією, зворотною додаванню, а в усякому поле, якщо обмежитися лише елементомтами, відмінними від  нуля, розподіл - операцією, зворотною  множенню. Слідуючи цим прикладам, у  разі довільного безлічі М з однією операцією (не обов'язково комутативної) природно поставити таке питання: чи існують для даних елементів  а і b такі елементи х і у, що Ці рівняння можуть і не бути вирішуваними в множині М. З дру ¬ гой боку, кожне з цих рівнянь може мати в М багато різних рішень. Будемо говорити, що для операції, заданої в М, існує зворотна операція, якщо за будь-яких а і Комерсант кожне з рівнянь (1) має рішенням, притому єдиним; в некомутативними разі вирішення цих двох рівнянь не зобов'язані, зрозуміло, збігатися.

Прикладом операції, при якій рівняння (1) можуть володіти багатьма різними  рішеннями, служить множення в усякому  кільці з дільниками нуля, зокрема  в кільці функцій і в кільці матриць. Найпростішими прикладами операцій, при яких рівняння (1) не завжди вирішувані, є операція додавання  в множині натуральних чисел, а також операція множення в кільці цілих чисел і навіть у полі дійсних чисел - останнє зважаючи на неможливість поділу на нуль. 

Ізоморфізм. Гомоморфізм

Нехай дано дві множини М і  М ', в кожному з яких визначено  але однією алгебраїчної операції; будемо вважати, що в обох множинах ці операції названі множенням. Безлічі  М і М 'називаються ізо-морфним  щодо цих операцій, якщо між їх елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність, що володіє наступною  властивістю: якщо елементам а і  Ь з М відповідають в множині  М 'елементи а' і b 'і якщо

то елементу з безлічі М повинен  бути віднесений при розглянутому відповідно елемент с ', а не який-небудь інший елемент безлічі М'. Само таке взаємно однозначна відповідність називається ізоморфним відповідністю або изоморфизмом між М і М '. Ізоморфізм множин М і М 'буде записуватися символом

Приклади ізоморфних множин з однією операцією можуть бути ука ¬ зани без всяких труднощів. Так, безліч парних чисел можна взаємно однозначно відобразити на безліч чисел, кратних  числу 3, якщо всякому парним числом 2k віднести число 3k, що лежить в другому  множині. Це відображення буде, очевидно, ізоморфним щодо складання, кото ¬ рої  визначено в кожному з двох розглянутих множин.Порівняємо, далі, операцію множення, вироблену в безлічі  позитивних дійсних чисел, з операцією  складання, вироб-Дімою в множині  всіх дійсних чисел. Ми прийдемо до взаємно однозначного відображенню першого з цих множин на друге, якщо * всякому позитивному дійсному числу поставимо у відповідність  його логарифм по підставі 10. Рівність

показує, що це відображення є ізоморфним.

Ряд прикладів ізоморфних множин можна  знайти також в курсі вищої  алгебри. Нагадаємо один з них: безліч лінійних преобра ¬ тання і-мірного  векторного простору над деякими  полем Р, причому множенням лінійних перетворень вважається їх послідовне виконання, ізоморфно безлічі квадратних матриць порядку п над полем Р з множенням матриць в якості алгебраїчної операції. Цей ізоморфізм залежить, як відомо, від вибору бази у векторному просторі. Таким чином, якщо множини М і М ', кожне з однією операцією, ізоморфні, то изоморфное відповідність між ними можна встановити, взагалі кажучи, багатьма різними способами.

Усяке безліч з операцією ізоморфно, очевидно, самому собі: для цього  достатньо взяти тотожне відображення множини на себе. Ставлення ізоморфізму  є, далі, симетричним - з следуєт М₂ ~ М₁ — и транзитивним — из М₁ ~ М₂ и М₂ ~ М₃ следуєт М₁ ~ М₃.

З визначення ізоморфізму випливає, що ізоморфні множини мають однакову потужність, зокрема, якщо вони кінцеві, то складаються з однакового числа  елементів.

Ізоморфні безлічі з операціями відрізняються один від одного природою своїх елементів і, бути може, назвою операції і символікою, що вживається для її позначення. Вони невиразні, проте, з точки зору властивостей операцій - все, що може бути доведено для  деякого безлічі з операцією  на підставі властивостей цієї операції, але без використання конкретної природи елементів множини, автоматично  переноситься на всі множини, ізоморфні  з даними. Ізоморфні безлічі ми будемо тому вважати надалі лише різними  примірниках безлічі з однією і тією ж операцією і цим  виділимо алгебраичен-ську операцію як істинного об'єкта вивчення. Лише при  построе-ванні прикладів нам доведеться говорити про конкретні множинах і про опе-раціях, визначення яких залежить від властивостей елементів  цих множин. Втім, пізніше - в розділі 5 - ми навчимося задавати конкретні  при-заходи операцій без всяких припущень  про природу тих елементів, над  якими проводяться операції. Поняття  ізоморфізму не є поняттям, специфічним  для алгебрами ¬ ри. Насправді  всяка математична наука вміє за деякими ознаками ідентифікувати досліджувані нею об'єкти, виділяючи  цим ті властивості цих об'єктів, які становлять предмет даної  науки. Чита-телю для з'ясування цього  достатньо уявити собі, як створюється  одне з основних математичних понять - поняття цілого числа.

Ми отримаємо узагальнення поняття  изоморфного відображення, якщо в  його визначенні відмовимося від  вимоги взаємної однозначності. Нехай  дано безлічі М і М ', кожне з  однією операцією - множенням. Розглянемо відображення ф безлічі М на безліч М ', що ставить у відповідність  кожному елементу аізМ цілком певний образ а' = аф в М ', в той час  як всякий елемент з М' володіє  хоча б одним, але, взагалі кажучи, багатьма різними прообразами в  М. Це відображення називається гомоморфним, якщо для будь-яких а і b, що містяться  в М, з випливає

Не можна вважати, зрозуміло, тотожними  два безлічі, одне з яких гомоморфності  відображається на інше. Таким чином, поняття гомоморфізму грає менш принципову роль, ніж поняття ізомор-Фізмен, але в подальшому розвитку теорії ця роль також вельми велика. Зазначимо  деякі приклади гомоморфності відображень.

Нехай М - безліч всіх цілих чисел  зі складанням в якості алгебраїчної операції, М '- безліч, що складається  з чисел 1 і-1; зто другий безліч розглядається  щодо множення, яке в ньому, очевидно, визначено. Відносячи всякому парним числом число 1, всякому непарному - число -1, ми отримаємо гомоморфності  відображення М на МУ; дійсно, правилом «парне плюс непарне одно непарному» відповідає рівність 1 * (- 1) = - 1, і т. д. Пусть теперь М — множество  всех векторов на плоскости, выходящих  из начала координат, М' — множество  тех векторов из М, которые лежат  на оси абсцисс, причем в обоих  случаях роль алгебраической операции играет сложение векторов. Мы получим  гомоморфное отображение 

множества М на множество М', если всякому вектору из М поставим в соответствие его проекцию на ось  абсцисс; действительно, проекция суммы  равна, как известно, сумме проекций слагаемых.Якщо безліч М з однією операцією гомоморфності відображається на безліч М ', зокрема, якщо ці дві множини ізоморфні, то з справедливості в М закону асоціативності або закону коммутативно-сти випливає справедливість відповідного закону і в М'. Нехай, наприклад, операція в М коммутативна. Якщо а 'і b' - довільні елементи з М ', елемент а - один з прообразів елементу а' в М, b - один з прообразів елементу b ', то при розглянутому гомоморфізм елементу аЬ відповідає елемент а'Ь', елементу bа - елемент b'а ', а тому з рівності аb = bа та єдиності образу при гомоморфності відображенні випливає рівність а'b' = b'а '. За цим же зразком про-ходить доказ і в тому випадку, коли операція в М асоціативна.

 

Далі, якщо безліч М володіє одиницею 1, то її образ служить одиницею для  безлічі М '. Дійсно, позначимо образ  одиниці через е '. Якщо а '- довільний  елемент із М', а - один з його про-образів, то з рівності а-1 = 1-а = а і гомоморфізму відображення випливають рівності а'е '= е а' = а '. Цим доведено, що е 'насправді  служить одиницею для безлічі  М'.

Зауважимо, що якщо безліч М володіє  зворотною операцією, то в загальному випадку цього не можна стверджувати щодо його гомоморфного образу М ', а  саме не можна довести єдність  розв'язку кожного з рівнянь (1) попереднього параграфа, хоча і можна довести  раз-рішучість цих рівнянь.

Дійсно, якщо а 'і b' - елементи з М ', а і b - відпо ¬ ного їх деякі  прообрази в М, тобто ф = а', b (р = Ь '), і якщо елемент з задовольняє  рівнянню ах = 'в М, то зважаючи гомоморфності  отобра-вання ф елемент з' = сф буде задовольняти рівнянню а'х - ред 'в  М'.

Відзначимо, з іншого боку, що з  справедливості в М 'законів асоціативності або коммутативности, з наявності  в М' одиниці або з здійсненності  в М 'зворотної операції не випливають відповідні твердження для безлічі  М. Існує деякий спосіб огляду всіх гомоморфності образів даної  множини М з однією операцією. З цією метою введемо такі поняття. Нехай дано розбиття множини М на непересічні підмножини, які ми назвемо класами і будемо позначати буквами А, В, ... Це розбиття множини М на непересічні класи називається правильним, якщо з того, що елементи а1 і А2 лежать в одному класі А, а елементи Ьл і Ь2 - в одному класі В, випливає, що вироблена-дення а ^'у і а2b2 також належать до одного й того ж класу С х.

З цього визначення випливає, що клас С цілком визначається завданням  самих класів А і В - твір будь-якого  елементу з А на будь-який елемент  з В міститься в С. Якщо ми назвемо  клас С произве ¬ жанням класу  А на клас В, то в множині

всіх класів нашого правильного розбиття буде визначено алгебраїчна операція. назвемо безліч з цією операцією фактор-множиною множини М по розглядається правильному разбиению.

Безліч М гомоморфності відображається на фактор-безліч . Дійсно, досить поставити у відповідність кожному елементу

з М той клас, в якому цей  елемент міститься, і скористатися визначенням множення в безлічі 

.Это гомоморфное отображение множества М на фактор-множество називається природним.

Фактор-множинами безлічі М його різним правильним розбиття по суті вичерпуються всі гомоморфні образи цієї множини. Точніше, справедлива наступна теорема.

Якщо М '- довільний гомоморфний  образ безлічі М, а ф гомоморфності  відображення М на М', то існує таке правильне розбиття множини М  на непересічні класи, що безліч М ' ізоморфно фактор-множині, побудованому з цього разбиению. Більше того, існує  таке изоморфное відображення множества М' на множество , що результат послідовного виконання відображень збігається з природним гомоморфним відображенням М на М.Для доказу зауважимо, що ми отримаємо розбиття множини М на непересічні класи, якщо будемо відносити в один клас всі еле ¬ менти, образи яких при відображенні ф збігаються. Це розбиття є правильним: якщо елементи а 1 і я2 лежать в одному класі, тобто ,і це ж має місце для елементів о зважаючи гомоморфізності відображення ф

т. е. елементи а1 і а2Ь2 насправді належать до одного класу. Це дозволяє в множині М всіх класів отриманого розбиття визначити множення зазначеним вище способом, тобто перетворити М в фактор-безліч. Між усіма елементами множини М 'і всіма класами (тобто елементами множини М) існує взаємно однозначна відповідність — всякому елементу з М 'потрібно поставити у відповідність клас, що складається з усіх прообразів цього елемента. відповідність є ізоморфним: якщо елементам а 'і b' з безлічі М 'віднесені відповідно класи А і В і якщо в цих класах вибрано по елементу - а з А і b з В, то А В буде тим класом, який містить елемент аb. Однак т. е. элементу а'b'отображеня ставить у відповідність клас А В. Для закінчення докази беремо довільний елемент а з М. Нехай Так як елемента є одним з прообразів елементу а ', то а міститься в А, тобто результат послідовного виконання відображень дійсно збігається з природним гомоморфним відображенням М на М. Теорема доведена.