Найти функцию, удовлетворяющую внутри круга уравнению Гельмгольца и принимающую на границе круга заданные значения (Решение → 5)

Заказ №40958

Найти функцию, удовлетворяющую внутри круга уравнению Гельмгольца и принимающую на границе круга заданные значения.

Решение. Уравнение в полярных координатах имеет вид . Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности . Согласно методу Фурье нетривиальные решения уравнения ищем в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные: , , , откуда , , , , . Из условия периодичности следует, что , . Таким образом, для получаем задачу на собственные значения , , . Если , то . Применяем условие периодичности: . Отсюда, , , . Если , то . Следует взять иначе не выполнится условие периодичности. При ненулевых периодических решений нет. Окончательно имеем , . Теперь при каждом решаем уравнение для : : , . Уравнение заменой переменной при-водится к уравнению Бесселя , где . Его общее решение может быть записано в виде . Тогда , . Здесь – функция Бесселя, – функция Неймана. Поскольку рассматривается задача для уравнения Гельмгольца внутри круга, а функции Неймана неограниченны при , то следует положить . Тогда решение заданной краевой задачи будем строить в виде ряда по частным решениям, ограниченным при : . Коэффициенты , , , , найдем из краевого условия . Используя указанное краевое условие, получим . Значит, в ряде для будут отличными от нуля только коэффици-енты и : , . Окончательно решение заданной задачи получаем в виде.