Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке (Решение → 2)

Заказ №40958

Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке

Задача 12. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке. Решение. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные: , , : , , , . Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений , . Из граничных условий , получаем граничные условия для функции : , , значит, , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля : , , . Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид . Из краевого условия получаем: , т.е. . Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля: собственные значения , ; собственные функции , . Теперь при каждом решаем уравнение для : , . Общее решение этого уравнения имеет вид . Тогда . Для нахождения коэффициентов , , воспользуемся начальным условием Разложим функцию на отрезке в ряд Фурье по системе : , где . Находим , , . Тогда . Итак, . Тогда начальное условие дает , откуда. Тогда решением задачи является функция.