Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге (Решение → 6)

Заказ №40958

Задача 4 (1983 г.). Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге

Решение. Уравнение Лапласа в полярных координатах , ( , ) имеет вид . Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности . Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье. Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде , Подставляем в уравнение и разделяем переменные: , откуда , . Из условия периодичности следует, что , . Таким образом, для получаем задачу на собственные значения , . Если , то . Применяем условие периодичности: . Отсюда, , , . Если , то . Следует взять иначе не выполнится условие периодичности. При ненулевых периодических решений нет. Окончательно имеем , . Чтобы решить уравнение для при , сделаем замену . Получим , , откуда , т.е. , . При получим . Таким образом, функции , , . являются частными решениями уравнения . Составим функцию , которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением. Поскольку задача рассматривается внутри круга радиуса 2, то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые яв-ляется неограниченными в области , т.е. , , . Итак, в области имеем , Разложим функцию в ряд Фурье на по системе соб-ственных функций : , где , , , . Находим , , . Значит, и тогда из краевого условия имеем: , откуда , , , , т.е. , , , . Окончательно решение заданной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге имеет вид .