Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в прямоугольнике (Решение → 3)

Заказ №40958

Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в прямоугольнике 

Задача 10. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в прямоугольнике. Решение. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные: , , : , , , . Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений , . Из граничных условий получаем граничные условия для функции : , , , , значит, , , , . Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля : , , , , , . Эту задачу также будем решать методом Фурье. Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные: , , . Тогда функции и являются соответственно решениями уравнений , . Из граничных условий , , , получаем граничные условия для функций и : , , , , значит, , , , . Таким образом, для определения , , и получаем задачи Штурма-Лиувилля : , , , : , , . Решаем задачу для . Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид . Из краевого условия получаем: , т.е. . Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля для : собственные значения , ; собственные функции , . Решаем задачу для . Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид . Из краевого условия получаем: , т.е. . Из краевого условия получаем: . Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем , , т.е. , . Тогда получим , . Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля для : собственные значения , ; собственные функции , . Тогда получаем, что решением задачи Штурма-Лиувилля для есть собственные значения , , собственные функции , , . Теперь при каждом решаем уравнение для : , , . Общее решение этого уравнения имеет вид . Тогда . Для нахождения коэффициентов , , , воспользуемся начальными условиями , . Разложим функцию при , в ряд Фурье по системе : , где . Находим , , , . Тогда . Итак, . Тогда начальное условие дает , откуда , , . Заметим, что , , , . Находим : . Тогда начальное условие дает , откуда , , . Тогда решением задачи является функция .