Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным крае-вым условиям (задача Штурма-Лиувилля) (Решение → 8)

Заказ №40958

Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным крае-вым условиям (задача Штурма-Лиувилля)

Вариант № 2 (задания по задачнику 1983 г.) Задача 1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие задан-ным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля): Решение. Уравнение задачи Штурма-Лиувилля – линейное однородного уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение имеет вид . Рассмотрим три случая. 1 случай. Пусть . Тогда уравнение имеет два действи-тельных корня , и общее решение уравнения есть . Находим : . Тогда из краевых условий получим систему Условие существования нетривиального решения задачи Штурма-Лиувилля эквивалентно условию существования нетривиального решения этой системы, а условие нетривиальной разрешимости квадратной однород-ной системы – это равенство нулю её определителя. Итак, задача Штурма-Лиувилля при будет иметь нетривиальные решения тогда и только то-гда, когда . Раскрывая определитель, получим уравнение.

Последнее уравнение решений не имеет, поскольку , а при всех . Значит, при не существует нетривиальных решений заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющих заданным краевым усло-виям. 2 случай. Пусть . Общее решение уравнения в этом слу-чае есть . Находим : . Тогда из краевых условий получим систему Поскольку , то эта система имеет только тривиальное решение , а значит, при не существует нетривиальных решений заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющих заданным краевым условиям. 3 случай. Пусть . Тогда уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня и общее решение уравнения есть . Находим : . Тогда из краевых условий получим систему Требование нетривиальной разрешимости этой системы приводит к уравнению , или, раскрывая определитель,откуда (с учётом того, что ).

Итак, при ,  существуют нетривиальные решения системы для определения , . Поскольку при этих определи-тель системы равен нулю, то второе уравнение системы пропорционально первому и система примет вид. Тогда общее решение системы , , а нетривиальные решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным кра-евым условиям, есть , .