Система, показанная на рисунках 1-5, состоит из следующих элементов. Грузы массами m1 и m2 движутся поступательно. К грузам прикреплены невесомые нерастяжимые нити, перекинутые или намотанные на блоки массами m3 и m4, которые могут без трения вращаться вокруг горизонтальных осей. (Решение → 39400)

Система, показанная на рисунках 1-5, состоит из следующих элементов. Грузы массами m1 и m2 движутся поступательно. К грузам прикреплены невесомые нерастяжимые нити, перекинутые или намотанные на блоки массами m3 и m4, которые могут без трения вращаться вокруг горизонтальных осей. Блок массой m3 – сплошной цилиндр, а блок массой m4 – ступенчатый цилиндр с радиусами ступеней r4 и R4 и одинаковой высотой (рисунок 6). При движении по блокам нити не проскальзывают, участки нитей для тел на наклонных плоскостях параллельны этим плоскостям, коэффициент трения тел о любую плоскость равен μ. Система начинает движение из состояния покоя. Считая, что все нити и участки плоскостей имеют достаточную длину, выполнить следующие задания: 1. Найти ускорения грузов массами m1 и m2 и угловые ускорения блоков ε3, ε4. Принять r3=r4. 2. Найти силы натяжения всех нитей. 3. Используя кинематические формулы, найти скорости грузов, угловые скорости блоков и пути, пройденные грузами спустя время τ после начала движения. 4. Используя закон изменения механической энергии, найти скорости грузов и угловые скорости блоков в тот момент, когда пути, пройденные грузами, составят значения, найдены в п. 3. Численные значения и номер рисунка выбрать из таблицы 1. Таблица 1 Таблица 1 № рис m1, кг m2, кг m3, кг m4, кг α, град μ r4, м R4, м τ, с 1 4 0,50 0,5 3,0 45º 0,30 0,50 0,90 0,35

Решение:

1. Определим ускорения грузов, угловые ускорения блоков и силы натяжения всех нитей. Изображаем силы, действующие на каждое из тел системы: силы тяжести , , , , силы натяжения нитей , , , силу трения , силы нормальной реакции опоры N1  , , . Учитывая, что , груз 1 движется вниз по наклонной плоскости, груз 2 вертикально вверх. mg1  m g2  m g3  m g4  T1  T2  T3  F mp  N3  N4  m m 1 2  1 a  3   F mp  N4  2 a  T3  mg1  m g2  α m g4  m g3  T1  T1  T2  T2  T3  N1  2 y 1 y х1 N3  z 4   Запишем основное уравнение динамики для четырех тел системы: 1) m g T N F m a 1 1 1 1 1     mp      - для первого груза 2) m g T m a 2 3 2 2      - для второго груза, 3) -для блока 3. 4) - для блока 4. Запишем (1) и (2) в проекции на ох1 и оу1 и оу2: груз m1 ох1: 1 1 1 1 sin     T m g F m a  mp оу1: 1 1 1 cos 0; N m g F N      тр 1 1 N m g  cos 1 1 1 1 1     T m g m g m a sin cos    (5) груз m2 2 oy : T m g m a 3 2 2 2   (6) В проекции на ось z уравнение 3): , где I3- момент инерции блока 3, 2 3 3 3 2 m r I  , 2 3 0,5 0,5 0,0625 2 I    кг∙м 2 Моменты сил тяжести m3g и N3 относительно оси вращения равны нулю. В проекции на ось z уравнение 4): , где I4- момент инерции блока 4. Моменты сил тяжести m4g и N4 относительно оси вращения равны нулю. Определим момент инерции блока 4 – ступенчатого цилиндра 4 41 42 2 2 4 41 4 42 4 4 41 42 1 1 2 2 I I I I m R m r m m m              m V r h m V R h 2 42 42 4 2 41 41 4 ρ ρπ ρ ρπ 2 4 4 42 2 4 4 42 41 4 1                    r R m m r R m m 2 4 4 4 42 42           r R m m m ; Выразим и рассчитаем m42 и m41