Для сигнала (радиоимпульс с экспоненциальной огибающей), представленного на рисунок 7, определить частоту дискретизации (fД),

Для сигнала (радиоимпульс с экспоненциальной огибающей), представленного на рисунок 7, определить частоту дискретизации (fД), при которой наложение спектров составляет -10 дБ. st=e-αtsinω0t,t≥00,t<0

Воспользуемся формулой:
PNPc=10lgω1∞S2ωdω0ω1S2ωdω=10lg0∞S2ωdω-0ω1S2ωdω0ω1S2ωdω
где ω1=ωД2=πTд
Предварительно находим спектральную плотность сигнала по формуле:
Sω=0∞ste-jωtdt
Имеем:
Sω=0∞e-αtsinω0te-jωtdt=0∞e-α+jωtsinω0tdt
Используя преобразование Лапласа:
Fp=0∞e-ptftdt
И соотношение:
sinat ap2+a2
Можем сразу записать:
0∞e-α+jωtsinω0tdt=ω0α+jω2+ω02
Т.е.:
Sω=ω0α+jω2+ω02=ω0α2+ω02-ω2+j2αω
Тогда:
Sω2=ω02α2+ω02-ω22+4α2ω2=
=ω02α4+2α2ω02+2α2ω2+ω04-2ω02ω2+ω4=
=ω02α2+ω02+ω22-4ω02ω2=
=ω02α2+ω02-2ω0ω+ω2α2+ω02+2ω0ω+ω2=
=ω04α2+ω02ω+2ω0α2+ω+ω02-ω-2ω0α2+ω-ω02
Вычисляем значения интегралов:
0∞S2ωdω=ω04α2+ω020∞ω+2ω0α2+ω+ω02-ω-2ω0α2+ω-ω02dω=
=ω04α2+ω0212lnα2+ω+ω02+ω0αarctgω+ω0α-12lnα2+ω-ω02+ω0αarctgω-ω0α0∞=
=ω04α2+ω0212lnα2+ω+ω02α2+ω-ω02+ω0αarctgω+ω0α+ω0αarctgω-ω0α0∞=
=ω04α2+ω02∙πω0α=πω024αα2+ω02
Аналогично:
0ω1S2ωdω=
=ω04α2+ω0212lnα2+ω+ω02α2+ω-ω02+ω0αarctgω+ω0α+ω0αarctgω-ω0α0ω1
=ω04α2+ω0212lnα2+ω1+ω02α2+ω1-ω02+ω0αarctgω1+ω0α+ω0αarctgω1-ω0α
=ω04α2+ω0212lnα2+ω1+ω02α2+ω1-ω02+ω0αarctg2αω1α2+ω02-ω12≈
=ω024αα2+ω02arctg2αω1α2+ω02-ω12
Тогда:
-10=10lgπω024αα2+ω02-ω024αα2+ω02arctg2αω1α2+ω02-ω12ω024αα2+ω02arctg2αω1α2+ω02-ω12
Или:
π4-arctg2αω1α2+ω02-ω12arctg2αω1α2+ω02-ω12=10-1
Откуда:
arctg2αω1α2+ω02-ω12=π4,4
2αω1α2+ω02-ω12≈0,8665
Разрешая относительно ω1:
ω12+2,308αω1-α2-ω02=0
ω1=-2,308α+9,327α2+4ω022
ω1=-1,154α+2,332α2+ω02
Учитывая, что ω1=πTд:
πTд=-1,154α+2,332α2+ω02
Получаем:
fД=-1,154α+2,332α2+ω02π