Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет p1=0,75, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно p2=0,9 и p3=0,8. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают: все устройства; только одно устройство; хотя бы одно устройство.

Событие A1 – первое устройство сработает.
Событие A2 – второе устройство сработает.
Событие A3 – третье устройство сработает.
PA1=p1=0,75; PA2=p2=0,9; PA3=p3=0,8
События A1, A2, A3 независимы, так как появление одного из этих событий не изменит вероятности наступления другого (по условию устройства работают независимо).
Событие A1 – первое устройство не сработает.
Событие A2 – второе устройство не сработает.
Событие A3 – третье устройство не сработает.
Событие Ai противоположно событию Ai i=1, 2, 3.
PA1=1-PA1=1-p1=1-0,75=0,25
PA2=1-PA2=1-p2=1-0,9=0,1
PA3=1-PA3=1-p3=1-0,8=0,2
все устройства
Для нахождения вероятности используем теорему умножения вероятностей для независимых событий
Pвсе устройства=PA1 и A2 и A3=PA1∙A2∙ A3=PA1∙P A3∙PA1=0,75∙0,9∙0,8=0,54
только одно устройство
Для нахождения вероятности воспользуемся теоремой сложения вероятностей несовместных событий и теоремой умножения вероятностей независимых событий.
Pтолько одно устройство=PA1 и A2 и A3 или A1 и A2 и A3 или A1 и A2 и A3=PA1∙A2∙A3+A1∙A2∙A3+A1∙A2∙A3=PA1∙A2∙A3+PA1∙A2∙A3+PA1∙A2∙A3=PA1∙PA2∙PA3+PA1∙PA2∙PA3+PA1∙PA2∙PA3=0,75∙0,1∙0,2+0,25∙0,9∙0,2+0,25∙0,1∙0,8=0,015+0,045+0,02=0,08
хотя бы одно устройство
Pхотя бы одно устройство=1-Pни одно устройство не сработает=1-P A1 и A2 и A3=1-PA1∙A2∙A3=1-PA1∙PA2∙PA3=1-0,25∙0,1∙0,2=1-0,005=0,995
Ответ: а) 0,54; б) 0,08; в) 0,995.