Доказать, что limn→∞1+znn=ex(cosy+isiny), где z=x+iy.

Доказать, что limn→∞1+znn=ex(cosy+isiny), где z=x+iy.

Представим 1+zn в тригонометрической форме. Для этого найдем модуль и аргумент φn:
1+zn=1+x+iyn=1+xn+iyn=1+xn2+yn2,
cosφn=1+xn1+x+iyn,sinφn=yn1+x+iyntg φn=yn1+xn=yn+x.
Заметим, что при n→∞: 1+xn2+yn2→1, а cosφn→1. Значит с какого-то момента cosφn будет положительным, поэтому -π/2<φn<π/2, а значит arctg (tg φn)=φn.
1+znn=1+xn2+yn2n=1+xn2+yn2n2=1+2xn+x2+y2n2n2
limn→∞1+znn=limn→∞1+2xn+x2+y2n2n2
Воспользуемся вторым замечательным пределом:
limu→01+u1u=e.
В качестве u возьмем 2xn+x2+y2n2, потому что оно стремится к нулю . Тогда поделим и домножим на 2xn+x2+y2n2 степень:
limn→∞1+znn=limn→∞1+2xn+x2+y2n2n2=limn→∞1+2xn+x2+y2n21/2xn+x2+y2n2n2xn+x2+y2n22=
=limn→∞en2xn+x2+y2n22=limn→∞ex+x2+y22n=ex.
Теперь вспомним, что tg φn=yn+x, arctg (tg φn)=arctg yn+x=φn

. Тогда поделим и домножим на 2xn+x2+y2n2 степень:
limn→∞1+znn=limn→∞1+2xn+x2+y2n2n2=limn→∞1+2xn+x2+y2n21/2xn+x2+y2n2n2xn+x2+y2n22=
=limn→∞en2xn+x2+y2n22=limn→∞ex+x2+y22n=ex.
Теперь вспомним, что tg φn=yn+x, arctg (tg φn)=arctg yn+x=φn