Доказать, что векторы e1-1;1;1, e2-5;7;-4, e3(2;-3;2) образуют базис в R3. Найти координаты вектора b(-5;7;-4)

Доказать, что векторы e1-1;1;1, e2-5;7;-4, e3(2;-3;2) образуют базис в R3. Найти координаты вектора b(-5;7;-4) в этом базисе и вектора c в исходном, если в новом базисе: c=(3;0;-4)

Из координат векторов e1,e2,e3 составим матрицу и найдем ее ранг:
Вычислим определитель матрицы перехода:
-1-5217-31-42=-14+15-8-14+10+12=1
Так как определитель не равен нулю, то векторы линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса в R3
Найдем координаты вектора b в базисе e1,e2,e3
b=x1e1+x2e2+x3e3
-5;7;-4=x1-1;1;1+x2-5;7;-4+x3(2;-3;2)
b=0∙e1+1∙e2+0∙e3 => b0;1;0 в новом базисе
Пусть базис e1',e2',e3' исходный тогда:
e1=-e1'+e2'+e3'e2=-5e1'+7e2'-4e3'e3=2e1'-3e2'+2e3'
c=-1-5217-31-4230-4=-1115-5
c=3e1-4e3=3-e1'+e2'+e3'-42e1'-3e2'+2e3'=-11e1'+15e2'-5e3'