Доказать, что limn→∞nnz-1=lnr+iφ+2kπi, если nz=nrcosφ+2kπn+isinφ+2kπn для всякого фиксированного k ∈ Z.

Доказать, что limn→∞nnz-1=lnr+iφ+2kπi, если nz=nrcosφ+2kπn+isinφ+2kπn для всякого фиксированного k ∈ Z.

Представим nnz-1 в алгебраической форме:
nnz-1=nnrcosφ+2kπn+isinφ+2kπn-1=nnrcosφ+2kπn-1+insinφ+2kπn.
Будем отдельно разбираться с действительной и мнимой частью.
Начнем с действительной, вычтем и добавим nnr:
limn→∞nnrcosφ+2kπn-1=limn→∞nnrcosφ+2kπn-nr+limn→∞nnr-1,
если два последних предела существуют .
limn→∞nnrcosφ+2kπn-nr=limn→∞nnrcosφ+2kπn-1=limn→∞nelnrncosφ+2kπn-1.
limn→∞φ+2kπn=0, а значит можно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых и cosφ+2kπn-1~-φ+2kπn2.
limn→∞nnrcosφ+2kπn-nr=limn→∞nelnrncosφ+2kπn-1=-limn→∞nelnrnφ+2kπn2=
=limn→∞elnrnφ+2kπ2n=limn→∞e0φ+2kπ2n=0
limn→∞nnr-1=limn→∞nelnrn-1
limn→∞lnrn=0, а значит можно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых и
elnrn-1~lnrn :
limn→∞nnr-1=limn→∞nelnrn-1=limn→∞nlnrn=lnr.
Теперь займемся мнимой частью.
limn→∞φ+2kπn=0, а значит можно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых и sinφ+2kπn~φ+2kπn:
limn→∞nsinφ+2kπn=limn→∞nφ+2kπn=φ+2kπ
limn→∞nnz-1=limn→∞Re nnz-1+ilimn→∞Im nnz-1=lnr+iφ+2kπ.

.
limn→∞nnrcosφ+2kπn-nr=limn→∞nnrcosφ+2kπn-1=limn→∞nelnrncosφ+2kπn-1.
limn→∞φ+2kπn=0, а значит можно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых и cosφ+2kπn-1~-φ+2kπn2.
limn→∞nnrcosφ+2kπn-nr=limn→∞nelnrncosφ+2kπn-1=-limn→∞nelnrnφ+2kπn2=
=limn→∞elnrnφ+2kπ2n=limn→∞e0φ+2kπ2n=0
limn→∞nnr-1=limn→∞nelnrn-1
limn→∞lnrn=0, а значит можно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых и
elnrn-1~lnrn :
limn→∞nnr-1=limn→∞nelnrn-1=limn→∞nlnrn=lnr.
Теперь займемся мнимой частью.
limn→∞φ+2kπn=0, а значит можно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых и sinφ+2kπn~φ+2kπn:
limn→∞nsinφ+2kπn=limn→∞nφ+2kπn=φ+2kπ
limn→∞nnz-1=limn→∞Re nnz-1+ilimn→∞Im nnz-1=lnr+iφ+2kπ.