Две плоские однородные волны линейно поляризованы и распространяются в направлении оси z0. Первая волна

Две плоские однородные волны линейно поляризованы и распространяются в направлении оси z0. Первая волна поляризована по x0 и имеет амплитуду напряженности электрического поля Em = 100 В/м. Вторая – поляризована по y0 и имеет амплитуду напряженности магнитного поля Hm = 100 А/м и опережает первую по фазе на ∆φ = 25°. Определить параметры поляризации результирующей волны.

Направления векторов напряженности электрического поля E1 и E2 взаимно перпендикулярны. Удобно сдвинуть начало отсчета фаз так, чтобы перпендикулярных направлениях были колебания, сдвинутые по фазе на π ⁄ 2.
E0'=E0e-iα=E'-iE''
При этом полагаем, что E' ⊥ E'’ и вещественные.
Определим поляризацию волны. Введем такую систему отсчета фаз с углом α, что сдвиг фаз между векторами напряженности будет равен 90°. Введя новые оси ex’ || E’ и ey’ || E’’, можно записать:
Ex'=E'coskr-ωt+αEy'=E''sinkr-ωt+α (*)
Разделим первое уравнение на E', второе на E'':
Ex'E'=coskr-ωt+αEy'E''=sinkr-ωt+α
Возведем оба уравнения в квадрат и сложим:
Ex'2E'2+Ey'2E''2=cos2kr-ωt+α+sin2kr-ωt+α
Ex'2E'2+Ey'2E''2=1
Последнее уравнение является каноническим уравнением эллипса. Уравнение (*) также является уравнением эллипса и носит название параметрического уравнения эллипса

. Таким образом, заключаем, что результирующая электромагнитная волна имеет эллиптическую поляризацию.
Определим связь введенного параметра α с заданными величинами амплитуд и сдвига фаз рассматриваемых волн. Удобно проводить анализ с помощью комплексных амплитуд. Пусть комплексные амплитуды исходных волн:
E1=AexE2=Bei∆φey
Где A, B – комплексные амплитуды, ex и ey – единичные вектора в направлении соответствующих осей. Тогда напряженность суммы этих волн:
E0=E1+E2=Aex+Bei∆φey
Выполним переход к системе координат, в которой сдвиг фаз составляет 90°
E0'=Aex+Bei∆φeye-iα=Ae-iαex+Bei∆φe-iαey=
=Ae-iαex+Bei∆φ-αey=E'-iE''
Таким образом, в данной системе отсчета
E'=Acosα∙ex+Bcosα-∆φ∙ey
E''=Asinα∙ex+Bsinα-∆φ∙ey
По условию, волны поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях. Отсюда следует, что скалярное произведение векторов напряженности равно нулю:
E',E''=E'∙E''∙cosθ=0
Где θ = 90° – угол между векторами напряженности
С другой стороны, скалярное произведение выражается через сумму произведений соответствующих проекций векторов:
E',E''=Ex'∙Ex''+Ey'∙Ey''=0
Acosα∙Asinα+Bcosα-∆φ∙Bsinα-∆φ=0
A2cosα∙sinα+B2cosα-∆φ∙sinα-∆φ=0
Необходимо избавиться от произведения синуса на косинус, а также разности α и ∆φ