Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения Fx=0 для x≤1,19-7+8x-x2 для 1<x≤41 для x>4., Построить

Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения Fx=0 для x≤1,19-7+8x-x2 для 1<x≤41 для x>4., Построить график функции распределения. Найти плотность вероятности f(x) и построить её график. Найти вероятность попадания в интервал x∈[2,1; 3,4]. Найти математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднеквадратическое отклонение σ(X) случайной величины.

Построим график функции распределения вероятностей случайной величины.
Зная, что плотность вероятности f(x) является производной от функции распределения Fx, находим:
fx=0 для x≤1,198-2x для 1<x≤40 для x>4.,
Или можем записать:
fx=0 для x≤1,294-x для 1<x≤40 для x>4.,
Построим график плотности вероятности.
Математическое ожидание
MX=-∞∞xfxdx=-∞1x∙0dx+14x∙294-xdx+4∞x∙0dx=29144x-x2dx=292x2-x3314=2932-643-2+13=29∙9=2.
Дисперсия
DX=MX2-MX2=-∞∞x2fxdx-MX2=-∞1x2∙0dx+14x2∙294-xdx+4∞x2∙0dx-22=29144x2-x3dx-4=2943x3-x4414-4=292563-64-43+14-4=2984-64+14-4=2920+14-4=29∙814-4=4,5-4=0,5
Среднеквадратическое отклонение
σX=DX=0,5≈0,7071
Вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале a,b, равна
Pa≤X≤b=Fb-Fa
Положив, a=2,1, b=3,4, получим
P2,1≤X≤3,4=F3,4-F2,1=19-7+8∙3,4-3,42-19-7+8∙2,1-2,12=19-7+27,2-11,56+7-16,8+4,41=19∙3,25≈0,3611.
Ответ: x=0 для x≤1,294-x для 1<x≤40 для x>4., MX=2;DX=0,5;σX≈0,7071; P2,1≤X≤3,4≈0,3611.