Проведено пять измерений значений входной и выходной переменных на технологическом объекте. Исходные данные имеют

Проведено пять измерений значений входной и выходной переменных на технологическом объекте. Исходные данные имеют вид: х у 5,5 4,0 8,1 5,6 8,5 5,7 5,9 3,6 7,8 4.0 Вычислить доверительные интервалы для среднего и прогноза. В качестве использовать два значения: и . Доверительную вероятность взять равной 0,9.

Для нахождения параметров a и b линейной регрессии методом наименьших квадратов используем формулу: . Внесем промежуточные расчеты в таблицу:
  х у xy x2
1 5,5 4,0 22,00 30,25
2 8,1 5,6 45,36 65,61
3 8,5 5,7 48,45 72,25
4 5,9 3,6 21,24 34,81
5 7,8 4,0 31,20 60,84
Сумма 35,8 22,9 168,25 263,76
Среднее 7,16 4,58 33,65 52,75
Уравнение регрессии имеет вид:
Для нахождения точечного прогноза y при x01=7 и х02=10,5 подставим эти значения в уравнение регрессии:
Оценим доверительный интервал прогноза для доверительной вероятности 0,9:
,
где − величина остаточного стандартного отклонения (e=y-yмодель), n=5.
  х у xy x2 yмодель e2 (x-xсреднее)2
1 5,5 4,0 22,00 30,25 3,62 0,14 2,76
2 8,1 5,6 45,36 65,61 5,12 0,23 0,88
3 8,5 5,7 48,45 72,25 5,35 0,12 1,80
4 5,9 3,6 21,24 34,81 3,85 0,06 1,59
5 7,8 4,0 31,20 60,84 4,95 0,90 0,41
Сумма 35,8 22,9 168,25 263,76   1,46 7,43
Среднее 7,16 4,58 33,65 52,75      
для уровня значимости 0,1 и числа степеней свободы 5-2=3.
Вычислим доверительный интервал прогноза:
Доверительный интервал прогноза
х0 y(х0) S tкрит (x0-xсреднее)2 (x-xсреднее)2 SY ΔY Нижняя граница прогноза Верхняя граница прогноза
7 4,49 0,70 2,35 0,03 7,43 0,76 1,80 2,69 6,29
10,5 6,51 0,70 2,35 11,16 7,43 1,15 2,69 3,81 9,20
При значении входной переменной, равном 7, значение выходной переменной с вероятность 0,9 попадает в границы (2,69; 6,29).
При значении входной переменной, равном 10,5, значение выходной переменной с вероятность 0,9 попадает в границы (3,81; 9,20).
Оценим доверительный интервал среднего значения выходной переменной для доверительной вероятности 0,9:
Границы генерального среднего находятся из соотношения:
, где – выборочное среднее, равное 4,58.
– предельная ошибка выборки: , n=5.
sy − исправленное среднеквадратическое отклонение:
для уровня значимости 0,1 и числа степеней свободы 5-1=4.
  х у (y-yсреднее)2
1 5,5 4,0 0,34
2 8,1 5,6 1,04
3 8,5 5,7 1,25
4 5,9 3,6 0,96
5 7,8 4,0 0,34
Сумма 35,8 22,9 3,93
Среднее 7,16 4,58  
Следовательно:
С вероятностью 0,9 генеральное среднее значение выходной переменной находится в интервале (3,64; 5,52).