Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения. Найти: Вероятность попадания случайной величины X в интервал 0;ln2 Найти

Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения. Найти: Вероятность попадания случайной величины X в интервал 0;ln2 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X fx=12e-x, -∞<X<∞

Представим дифференциальную функцию распределения в виде:
fx=12ex, X<012e-x, X>0
Вероятность попадания случайной величины X в интервал α;β найдем по формуле:
Pα≤X≤β=αβfxdx
P0≤X≤ln2=0ln212e-xdx=-12e-xln20=-12e-ln2+12e0=-14+12=14
Математическое ожидание найдем по формуле:
MX=-∞∞x∙fxdx=12-∞0x∙exdx+120∞x∙e-xdx=
=12lima→-∞a0x∙exdx+12limb→-∞0bx∙e-xdx=
Для каждого из интегралов применим формулу интегрирования по частям:
u1=x dv1=exdx u2=x dv2=e-xdx
du1=dx v1=ex du2=dx v2=-e-x
=12lima→-∞xex0a-a0exdx+12limb→-∞-xe-xb0+0be-xdx=
=12lima→-∞xex0a-ex0a+12limb→-∞-xe-xb0-e-xb0=
=12lima→-∞0-a∙ea-1+ea+12limb→-∞-b∙e-b-0-e-b+1=-12+12=0
Использовали:
lima→-∞a∙ea=lima→-∞ae-a=По правилу Лопиталя=-lima→-∞1e-a=0
limb→∞b∙e-b=limb→∞beb=По правилу Лопиталя=limb→∞1eb=0
Дисперсию найдем по формуле:
DX=-∞∞x2f(x)dx-MX2=12lima→-∞a0x2∙exdx+12limb→-∞0bx2∙e-xdx=
Для каждого из интегралов применим формулу интегрирования по частям:
u1=x2 dv1=exdx u2=x2 dv2=e-xdx
du1=2xdx v1=ex du2=2xdx v2=-e-x
=12lima→-∞x2ex0a-2a0xexdx+12limb→∞-x2e-xb0+20bxe-xdx=
Применим формулу интегрирования по частям еще раз:
u1=x dv1=exdx u2=x dv2=e-xdx
du1=dx v1=ex du2=dx v2=-e-x
=12lima→-∞x2ex0a-2xex0a-a0exdx+12limb→∞-x2e-xb0+2-xe-xb0-e-xb0
=12lima→-∞-a2ea+2aea+2-2ea+12limb→∞-b2e-b-2be-b-2e-b+2=1+1=2