Случайная величина ξ имеет плотность распределения вида fx=ax+3, при x∈-a8, 00, при x∉-a8, 0 Найти: положительный параметр

Случайная величина ξ имеет плотность распределения вида fx=ax+3, при x∈-a8, 00, при x∉-a8, 0 Найти: положительный параметр a, используя условие нормировки для плотности; записав выражение для плотности с найденным параметром a, построить ее график; найти функцию распределения и построить ее график; вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для исходной случайной величины; вычислить математическое ожидание и дисперсию для линейной функции от исходной случайной величины: -7ξ-9.

Положительный параметр a, используя условие нормировки для плотности
Плотность распределения fx должна удовлетворять условию нормировки
-∞∞fxdx=1
Для заданной функции
-∞∞fxdx=-∞-a80dx+-a80ax+3dx+0∞0dx=-a80ax+3dx=ax22-a80+3x-a80=-a2∙-a82+3a8=-a3128+3a8=1
Из уравнения найдем параметр a
-a3128+3a8=1
a3-48a+128=0
Подберем корень уравнения среди делителей свободного члена, получим a1=4.
a-4a2+4a-32=0
Дискриминант квадратного уравнения a2+4a-32=0
D=16+128=144
Корни кубического уравнения
a1=4; a2=-4+122=4; a3=-4-122=-8
Корень a3=-8 не подходит, так как по условию a>0.
Положительный параметр
a=4
записав выражение для плотности с найденным параметром a, построить ее график
Плотность распределения имеет вид
fx=4x+3, при x∈-12, 00, при x∉-12, 0
найти функцию распределения и построить ее график
Используем формулу
Fx=-∞xftdt
Если -∞<x<-12, то fx=0, следовательно,
Fx=-∞x0dt=0
Если -12≤x≤0, то
Fx=-∞-120dt+-12x4t+3dt=4t22-12x+3t-12x=2x2-12+3x+32=2x2+3x+1
Если 0<x<+∞, то
Fx=-∞-120dt+-1204t+3dt+0x0dt=4t22-120+3t-120=-12+32=1
Функция распределения имеет вид
Fx=0, при -∞<x<-122x2+3x+1, при -12≤x≤01, при 0<x<+∞
вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для исходной случайной величины
Математическое ожидание
Mξ=-∞∞xfxdx=-∞-12x∙0dx+-120x∙4x+3dx+0∞x∙0dx=-1204x2+3xdx=4x33-120+3x22-120=-43∙-123-32∙-122=43∙18-38=16-38=4-924=-524≈-0,2083
Для нахождения дисперсии предварительно найдем
Mξ2=-∞-12x2∙0dx+-120x2∙4x+3dx+0∞x2∙0dx=-1204x3+3x2dx=4x44-120+3x33-120=--124--123=-116+18=116
Дисперсия
Dξ=Mξ2-Mξ2=116--5242=116-25576=36-25576=11576≈0,0191
Среднее квадратическое отклонение
σ=Dξ=11576=1124≈0,1382
вычислить математическое ожидание и дисперсию для линейной функции от исходной случайной величины: -7ξ-9
Используя свойства математического ожидания и дисперсии, найдем
M-7ξ-9=M-7ξ+M-9=-7∙Mξ-9=-7∙-524-9=3524-9=-18124≈-7,5417
D-7ξ-9=D-7ξ+D-9=-72∙Dξ+0=49∙11576=539576≈0,9358