Случайная величина ξ имеет плотность распределения fξx с заданной дисперсией Dξ. 1) найдите константы a

Случайная величина ξ имеет плотность распределения fξx с заданной дисперсией Dξ. 1) найдите константы a и b; 2) найдите функцию распределения Fξx; 3) выясните, зависимы или нет события А и В; 4) случайная величина ξ измеряется в трех независимых испытаниях, по результатам строят новую случайную величину η, которая равна 1, если хотя бы при одном измерении произошло событие А; равно 0 если не произошло А ни разу, но хотя бы раз произошло В – А, и принимает значение -1 во всех остальных случаях. Найдите Mη и Dη. fξx=b1+a2x2, x≤30, x>3; A=ξ∈-3;1; B=ξ∈-1;3; Dξ=32.

Из свойства плотности распределения имеем:
-∞∞fξxdx=1⟹-33b1+a2x2dx=ba2-331x2+1/a2dx=ba2∙a∙arctgax -33=
=baarctg3a-arctg-3a=2baarctg3a=1
Математическое ожидание непрерывной случайной величины:
Mξ=-∞∞xfξxdx=-33bx1+a2x2dx=0-интеграл по симметричному промежутку от нечетной
функции.
Дисперсия непрерывной случайной величины:
Dξ=-∞∞x-Mξ2fξxdx=-33bx21+a2x2dx=ba2-33x2+1a2-1a21a2+x2dx=ba2-331-1a211a2+x2dx=
=ba223-2a2∙a∙arctg3a=32
Получаем систему для нахождения коэффициентов:
2baarctg3a=11a223b-2baarctg3a=32
При
Dξ=32 система решения не имеет,
решим для Dξ=23
2) Функция распределения непрерывной случайной величины:
Fξx=-∞xfξtdt
1) x≤-3: Fξx=0
2)-3<x ≤3: Fξx=-∞-30dt+-3xb1+a2t2dt=ba2-3x1t2+1a2dt=
=ba2∙a∙arctgat -3x=ba∙arctgax+arctg3a
3)x>3: Fξx=1
Fξx=0, x≤-3ba∙arctgax+arctg3a, -3<x ≤3 1, x>3
3) выясните, зависимы или нет события А и В;
Для независимых событий
PAB=PAPB
PA=Pξ∈-3;1=-31b1+a2x2dx=0.872
PB=PB=ξ∈-1;3=-13b1+a2x2dx=0.872
PAB=Pξ∈-3;1∪ξ∈-1;3=Pξ∈-1;1=-11b1+a2x2dx=0.744
PAB=0.744≠PAPB=0.76
События А и В зависимы.
4) Построим η, по формуле Бернулли
Pη=1=1-1-0.8723=0.998- хотя бы при одном измерении произошло событие А;
PB-A=Pξ∈-1;3-ξ∈-3;1=Pξ∈1;3=13b1+a2x2dx=0.128
Если не происходит событие A, то достоверно происходит событие B-A=B∙A.
Pη=0=1-0.8723=0.002- не произошло А ни разу, но хотя бы раз произошло В – А,
Pη=-1=1-0.998-0.002=0.
Тогда
yi
-1 0 1
pi
0 0,002 0,998
Найдем Mη и Dη.
Mη=i=13yipi; Dη=i=13yi-Mη2pi