Сосуд объема V=10 л содержит воздушную смесь (воздух и азот). Из сосуда вытекает at=10t+2

Сосуд объема V=10 л содержит воздушную смесь (воздух и азот). Из сосуда вытекает at=10t+2 л воздушной смеси в минуту, и такое же количество смеси втекает, причем во втекающей смеси количество азота составляет bt=sin2t л за минуту. Определить количество азота (л) в сосуде в момент T=1, если в момент t=0 в сосуде содержалось V0=3 л азота. Количество азота в сосуде подчиняется закону y'=b-ayV.

Количество азота в сосуде подчиняется закону y'=b-ayV.
Следовательно, получаем дифференциальное уравнение
y'=sin2t-yt+2
y'+1t+2y=sin2t
Это уравнение вида:
y'+Pty=Qt
где Pt=1t+2 и Qt=sin2t
Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение:
y'+Pty=0
y'+1t+2y=0
Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
dydt=-yt+2
1ydy=-1t+2dt
dyy=-1t+2dt
dyy=-1t+2dt+2
lny=-lnt+2
Следовательно, решением однородного линейного уравнения является функция:
y=Ct+2
Теперь для нахождения общего решения исходного линейного неоднородного уравнения используем метод вариации произвольных постоянных, т.е . ищем это решение в виде
yt=Ctt+2
Подставим выражение в исходное уравнение, получаем
Ctt+2'+1t+2∙Ctt+2=sin2t
C't∙t+2-Ctt+22+Ctt+22=sin2t
C'tt+2=sin2t
C't=t+2sin2t
Значит, восстановим функции интегрированием
Ct=t+2sin2tdt=tsin2tdt+2sin2tdt=
=-cos2t-t2cos2t+14sin2t+C
Подставляем найденные Ct в yt=Ctt+2.
Получаем окончательный ответ:0
yt=1t+2∙-cos2t-t2cos2t+14sin2t+C
Зная, что y0=3 вычислим значение произвольной постоянной:
10+2∙-cos2∙0-02cos2∙0+14sin2∙0+C=3
C-1=6
C=7
В результате получаем закон определяющий количество азота в сосуде:
yt=1t+2∙-cos2t-t2cos2t+14sin2t+7
Определим количество азота (л) в сосуде в момент T=1:
y1=13∙-cos2-12cos2+14sin2+7≈2,6171

. ищем это решение в виде
yt=Ctt+2
Подставим выражение в исходное уравнение, получаем
Ctt+2'+1t+2∙Ctt+2=sin2t
C't∙t+2-Ctt+22+Ctt+22=sin2t
C'tt+2=sin2t
C't=t+2sin2t
Значит, восстановим функции интегрированием
Ct=t+2sin2tdt=tsin2tdt+2sin2tdt=
=-cos2t-t2cos2t+14sin2t+C
Подставляем найденные Ct в yt=Ctt+2.
Получаем окончательный ответ:0
yt=1t+2∙-cos2t-t2cos2t+14sin2t+C
Зная, что y0=3 вычислим значение произвольной постоянной:
10+2∙-cos2∙0-02cos2∙0+14sin2∙0+C=3
C-1=6
C=7
В результате получаем закон определяющий количество азота в сосуде:
yt=1t+2∙-cos2t-t2cos2t+14sin2t+7
Определим количество азота (л) в сосуде в момент T=1:
y1=13∙-cos2-12cos2+14sin2+7≈2,6171