Сосуд объема V=1 л содержит воздушную смесь (воздух и азот). Из сосуда вытекает at=t2t3+1

Сосуд объема V=1 л содержит воздушную смесь (воздух и азот). Из сосуда вытекает at=t2t3+1 л воздушной смеси в минуту, и такое же количество смеси втекает, причем во втекающей смеси количество азота составляет bt=t2 л за минуту. Определить количество азота (л) в сосуде в момент T=1, если в момент t=0 в сосуде содержалось V0=0,1 л азота. Количество азота в сосуде подчиняется закону y'=b-ayV.

Количество азота в сосуде подчиняется закону y'=b-ayV.
Следовательно, получаем дифференциальное уравнение
y'=t2-t2t3+1y
y'+t2t3+1y=t2
Это уравнение вида:
y'+Pty=Qt
где Pt=t2t3+1 и Qt=t2
Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение y'+Pty=0. Данное уравнение решается следующими шагами:
dyy=-Ptdt
dyy=-Ptdt
lny=-Ptdt
y=e-Ptdt
Поэтому, y1=e-Ptdt и y2=-e-Ptdt.
Зная, что Pt=t2t3+1, найдем его интеграл:
t2t3+1dt=131t3+1dt3+1=lnt3+13+C
Следовательно, решением однородного линейного уравнения является функция:
y=C3t3+1
Теперь для нахождения общего решения исходного линейного неоднородного уравнения используем метод вариации произвольных постоянных, т.е