Электрический заряд распределен в пространственном слое между двумя параллельными бесконечными плоскостями (рис. 3) симметрично. 2

Электрический заряд распределен в пространственном слое между двумя параллельными бесконечными плоскостями (рис. 3) симметрично относительно центральной плоскости x = 0 с объемной плотностью заряда ρ(x)=ρ01-xd2, зависящей от координаты x точки. Ось X перпендикулярна слою. Толщина слоя 2d. Найти с помощью теоремы Гаусса зависимость проекции Ex на ось X вектора напряженности электрического поля от координаты точки x. Построить график этой зависимости Ex(x) в интервале изменения координаты x от – 2d до 2d. № вар. ρ0, d 9 ρ0 = 2 нКл/м3, d = 40 см

Замечаем, что в задаче присутствует зеркальная симметрия относительно плоскости x = 0; и трансляционная и зеркальная вдоль плоскостей пластин. Согласно последнему «нет выделенного направления» кроме +x и –x, и поле очевидно направлено по оси x: E=Exi; а в силу первого указанного факта 272415165735оно равное по величине и противоположенное по направлению в областях x > 0 и x < 0: Ex-x=-Exx . Построим прямоугольный параллелепипед с центром в нуле, с боковыми сторонами площади S параллельными пластинам, как показано на рис. Расстояние от нуля до боковой грани равно x.
По теореме Гаусса:
EdS=1ε0ρdV
При 0 < x < d
0+Exx⋅S+0+Ex-x⋅-S=Exx⋅S-Exx⋅-S=2Ex⋅S==1ε0⋅S-xxρxdx=2ε0⋅S0xρxdx, dV=Sdx
Exx=1ε00xρxdx=ρ0ε00x1-xd2dx=ρ0ε0⋅x-1d2⋅x330x==ρ0ε0⋅x⋅1-13xd2
При –d < x < 0
Exx=-Ex-x=-ρ0ε0⋅-x⋅1-13-xd2=ρ0ε0⋅x⋅1-13xd2
При x > d
0+Exx⋅S+0+Ex-x⋅-S=2Ex⋅S=Qε0=1ε0⋅S-ddρxdx==2ε0⋅S0dρxdx
QS=20dρxdx=2⋅ρ0⋅x⋅1-13xd2x=d=2⋅2ρ0d3
Exx>d=1ε0⋅12 QS=2ρ0d3ε0
При x < –d
Exx<-d=-Ex-x>d=-2ρ0d3ε0
Итак,
Exx=ρ0ε0⋅-2d3, x≤-dx⋅1-13xd2, -d<x<d2d3, x≥d
ρ0ε0≈2⋅10-98.85⋅10-12 Вм2≈226 Вм2=2.26 Вмсм
±ρ0ε0⋅2d3≈±2.26⋅803 Вм=±60.3Вм
Exx см≈-60 Вм, x≤-402.3 Вм⋅x⋅1-13x402, -40<x<4060 Вм, x≥40

. Построим прямоугольный параллелепипед с центром в нуле, с боковыми сторонами площади S параллельными пластинам, как показано на рис. Расстояние от нуля до боковой грани равно x.
По теореме Гаусса:
EdS=1ε0ρdV
При 0 < x < d
0+Exx⋅S+0+Ex-x⋅-S=Exx⋅S-Exx⋅-S=2Ex⋅S==1ε0⋅S-xxρxdx=2ε0⋅S0xρxdx, dV=Sdx
Exx=1ε00xρxdx=ρ0ε00x1-xd2dx=ρ0ε0⋅x-1d2⋅x330x==ρ0ε0⋅x⋅1-13xd2
При –d < x < 0
Exx=-Ex-x=-ρ0ε0⋅-x⋅1-13-xd2=ρ0ε0⋅x⋅1-13xd2
При x > d
0+Exx⋅S+0+Ex-x⋅-S=2Ex⋅S=Qε0=1ε0⋅S-ddρxdx==2ε0⋅S0dρxdx
QS=20dρxdx=2⋅ρ0⋅x⋅1-13xd2x=d=2⋅2ρ0d3
Exx>d=1ε0⋅12 QS=2ρ0d3ε0
При x < –d
Exx<-d=-Ex-x>d=-2ρ0d3ε0
Итак,
Exx=ρ0ε0⋅-2d3, x≤-dx⋅1-13xd2, -d<x<d2d3, x≥d
ρ0ε0≈2⋅10-98.85⋅10-12 Вм2≈226 Вм2=2.26 Вмсм
±ρ0ε0⋅2d3≈±2.26⋅803 Вм=±60.3Вм
Exx см≈-60 Вм, x≤-402.3 Вм⋅x⋅1-13x402, -40<x<4060 Вм, x≥40