В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, во второй 3 белых и

В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, во второй 3 белых и 4 черных шаров. Из каждой урны вынимают по 2 шара. X - число белых шаров из первой урны, Y - число белых шаров из второй урны. Найти ряд распределения случайной величины Z=X-Y. Определить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду).

Составим ряды распределения случайных величин X,Y
Случайная величина X может принимать значения: 0,1,2
Для нахождения вероятностей количества извлеченных белых шаров применим формулу гипергеометрической вероятности:
Px=k=Cnk∙CN-nK-kCNK
N=12 - общее число шаров в урне
K=2 – число извлеченных шаров из урны
n=5 - число белых шаров в урне
Px=0=C50∙C72C122=5!0!∙5!∙7!2!∙5!12!2!∙10!=1∙2166=2166=722
Px=1=C51∙C71C122=5!1!∙4!∙7!1!∙6!12!2!∙10!=5∙766=3566
Px=2=C52∙C70C122=5!2!∙3!∙7!0!∙7!12!2!∙10!=10∙166=1066=533
X
0 1 2
p
722
3566
533
Случайная величина Y может принимать значения: 0,1,2
Для нахождения вероятностей количества извлеченных белых шаров применим формулу гипергеометрической вероятности:
Py=k=Cnk∙CN-nK-kCNK
N=7 - общее число шаров в урне
K=2 – число извлеченных шаров из урны
n=3 - число белых шаров в урне
Py=0=C30∙C42C72=3!0!∙3!∙4!2!∙2!7!2!∙5!=1∙621=621=27
Py=1=C31∙C41C72=3!1!∙2!∙4!1!∙3!7!2!∙5!=3∙421=1221=47
Py=2=C32∙C40C72=3!2!∙1!∙4!0!∙4!7!2!∙5!=3∙121=321=17
Y
0 1 2
p
27
47
17
Составим ряд распределения случайной величины X-Y
X
Y
X-Y
P
0 0 0 Px=0∙Py=0=722∙27=111
0 1 -1 Px=0∙Py=1=722∙47=211
0 2 -2 Px=0∙Py=2=722∙17=122
1 0 1 Px=1∙Py=0=3566∙27=533
1 1 0 Px=1∙Py=1=3566∙47=1033
1 2 -1 Px=1∙Py=2=3566∙17=566
2 0 2 Px=2∙Py=0=533∙27=10231
2 1 1 Px=2∙Py=1=533∙47=20231
2 2 0 Px=2∙Py=2=533∙17=5231
Объединим одинаковые значения случайной величины X-Y, сложив вероятности, получим ряд распределения:
X-Y
-2 -1 0 1 2
P
122
211+566=1766
111+1033+5231=96231
533+20231=55231
10231
X-Y
-2 -1 0 1 2
P
122
1766
96231
55231
10231
Mx=i=15xi∙pi=-2∙122+-1∙1766+0∙96231+1∙55231+2∙10231=
=-111-1766+55231+20231=-42-119+110+40462=-11462=-142
Dx=i=15xi2∙pi-M2x=
=(-2)2∙122+-12∙1766+02∙96231+12∙55231+22∙10231+-1422=
=211+1766+55231+40231-11764=1649519404≈0,85
σx=D(x)=0,85≈0,922
Мода дискретной случайной величины равна наиболее вероятному значению
MO=4