Вероятность изготовления некоторой детали первого сорта на тракторном заводе равна p, найти вероятность того,

Вероятность изготовления некоторой детали первого сорта на тракторном заводе равна p, найти вероятность того, что среди n случайно отобранных деталей первосортных будет m штук или не менее m1, но не более m2 штук. p=0,8. 1) n=5: а) m=4; б) m1=3, m2=5. 2) n=400: а) m=330; б) m1=300, m2=350.

В данной задаче имеем дело с испытаниями Бернулли. Вероятность того, что из n деталей ровно m будут первосортными, определяется по формуле Бернулли:,
где  p– вероятность изготовления первосортной детали;
q=1-p – вероятность изготовления нестандартной детали.
1а) В данном случае имеем
Используя формулу Бернулли, получаем:
1б) В данном случае
По теореме сложения вероятностей несовместных событий находим
Следовательно, находим:
2a) Вычислить искомую вероятность  по формуле  Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений . Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:
pnk≈1npqφx, где

Из условия задачи p = 0,8; q = 1 – 0,8 = 0,2; n = 400; R =330.
Вычислим: x=330-400∙0.8400∙0.8∙0.2=1,25
Из таблицы значений функции Лапласа находим φ (1,25) = 0, 1826

. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:
pnk≈1npqφx, где

Из условия задачи p = 0,8; q = 1 – 0,8 = 0,2; n = 400; R =330.
Вычислим: x=330-400∙0.8400∙0.8∙0.2=1,25
Из таблицы значений функции Лапласа находим φ (1,25) = 0, 1826