Вероятность появления события A в каждом из n=2000 испытаний постоянна и равна p=0,8. Используя

Вероятность появления события A в каждом из n=2000 испытаний постоянна и равна p=0,8. Используя интегральную и локальную теоремы Лапласа, найти вероятность того, что событие A появится: а) не менее k1=1600 и не более k2=1700 раз; б) не более k1=1600 раз; в) ровно k3=1550 раз.

А) Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Pk1≤X≤k2=Φk2-npnpq-Φk1-npnpq
По условиям задачи np=2000∙0,8=1600, npq=2000∙0,8∙(1-0,8)=320. Получаем:
P1600≤X≤1700=Φ1700-1600320-Φ1600-1600320=Φ5,590-Φ0=0,5-0=0,5
б) Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа, приняв k1=-∞:
P-∞≤X≤1600=Φ1600-1600320-Φ-∞-1600320=Φ0-Φ-∞=Φ0+Φ∞=0+0,5=0,5
в) Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
Pk=1npq∙φk-npnpq
Подставляя данные, получаем:
P1550=1320∙φ1550-1600320=1320∙φ-2,795=1320∙0,0080≈0,00045
Таким образом, вероятность того, что событие A появится: а) не менее 1600 и не более 1700 раз составляет 50%; б) не более 1600 раз – 50%; в) ровно 1550 раз – 0,045%.