Анализ финансово-хозяйственной деятельности предприятия. 71

Содержание.

1. Анализ и оптимизация  хозяйственных связей на основе транспортной задачи………………………………………………………………………….…….3

1. Постановка задачи ……………………………………………………………3

2. Порядок выполнения работы ………………………………………………..4
3. Исходные данные ………………………………………………..,…………...6
4. Решение ………………………………………………………………………..6

2. Оптимизация производственной программы на основе графической задачи и симплекс метода…………………………………………………………………..24

1. Постановка задачи…………………………………………………………..24

2. Графическое решение задачи ………………………………………………25
1. Исходные  данные ……………………………………………………25
2. Решение ……………………………………………………………….25
3. Симплекс-метод …………………………………………………………….28
1. Исходные данные …………………………………………………….28
2. Решение ……………………………………………………………….29

3. Задача распределения ресурсов ………………………………………………..33

1. Постановка задачи ………………………………………………………….33

2. Описание модели ……………………………………………………………34
3. Исходные данные…………………………………………………………….34
4. Решение ………………………………………………………………………34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Анализ и оптимизация хозяйственных связей на основе транспортной задачи.

1. Постановка задачи.

Требуется составить оптимальный  план перевозок продукции на планируемый  год с учетом удовлетворения потребностей всех получателей продукции за счет действующих предприятий.

Имеется m предприятий отрасли, производящих продукцию: А1, A2,..,Ai,...Am. Мощность каждого предприятия соответственно а_i единиц продукции, i = 1,..,m. Заданы n потребителей данной продукции: В1, B2,...Bj,...Bn и зафиксирована потребность каждого из них в данной продукции, составляющая b_j единиц, j = 1,..,n. Заданное географическое месторасположение поставщиков и потребителей определяется протяженностью транспортной магистрали l_ij от i-того поставщика до j-того потребителя, i = 1,..,m; j = 1,..,n. Стоимость транспортировки единицы груза на единицу протяженности пути принимается равной d. В этом случае затраты на транспортировку единицы продукции по каждому маршруту l_ij рассчитываются по формуле

(1.1)

Пусть х_jj – объем поставки продукции в условных единицах предприятием Аi потребителю Bj, причем

x_ij³ 0, i= 1,…,m; j = 1,…,n. (1.2)

При решении транспортной задачи должны выполняться следующие  условия:

;             (1.3)

;         (1.4)

.                (1.5)

Условие (1.3) означает, что  количество единиц продукции, отправленной i-тым предприятием всем своим потребителям, не должно превышать мощность данного предприятия по выпуску продукции (a_i).

Условие (1.4) показывает, что  суммарное   количество   продукции, доставляемой j-тому потребителю от всех его поставщиков, полностью  покрывает установленный спрос  данного потребителя (b_j).

Условие (1.5) свидетельствует  о том, что суммарная производственная мощность отрасли  полностью обеспечивает спрос потребителей данного района.

Затраты на транспортировку  продукции от i-того предприятия  к j-тому поставщику:

З_ij  = x_ij d l_ij = x_ij c_ij.     (1.6)

Суммарные затраты на транспортировку  продукции по всему комплексу  соответственно:

.           (1.7)

Целью решения задачи является минимизация суммарных затрат на транспортировку продукции, т.е.

         (1.8)

1.2 Порядок выполнения  работы.

Необходимо разработать  первоначальную матрицу любого возможного плана хозяйственных связей между  предприятиями отрасли и потребителями  продукции (табл. 1.1). При разработке первоначального варианта транспортировки товара может быть использовано правило Северо-Западного угла, или правило наименьшего элемента в таблице, или правило наименьшего элемента в строке, столбце.

Предлагаемый вариант  должен удовлетворять следующим  условиям.

1. Должны выполняться  ограничения (1.9) – (1.12):

х₁₁≥0, х₂₃≥0, х₂₂≥0, х₃₃≥0, х₃₄≥0.            (1.9)

 

х₁₁ + х₁₃ = а₁,

х₂₂ + х₂₃ = а₂,

                                   х₃₃ + х₃₄ = а₃.                    (1.10)

 

х₁₁ = b₁,

х₂₂ = b₂,

х₁₃ + х₂₃ + х₃₃ = b₃,

х₃₄ = b₄.      (1.11)

 

а₁ + а₂ + а₃ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄.          (1.12)

 

2. Количество  занятых   перевозками   клеточек   в   матрице  должно  быть равным m + n - 1, в приведенном примере 3+4-1=6.

Таблица 1

Первоначальный вариант  транспортировки продукции

Предприятия и их мощности		Потребители и их спрос
		B1	В2	B3	В4
		b1	b2	b3	b4
А1	a1	c11 x11	c12	c13 x13	c14
A2	а2	c21	c22 x22	c23 x23	c24
A3	a3	c31	c32	c33 x33	c34 x34

 

Затем необходимо рассмотреть возможность уменьшения затрат на транспортировку путем изменения маршрута перемещения продукции. Для этого анализируется возможность записи новой поставки продукции в пустые клетки матрицы – A1B2,  A1B4,  A2B1, A2B4 A3B1, A3B2. С этой целью к свободным клеткам строится так называемая цепь, отвечающая следующим условиям:

1) цепь представляет собой  замкнутый многоугольник;

2) в цепь включается  четное количество клеток матрицы,  причем одна из них пустая, а все остальные – с поставками;

3) у каждой клетки цепи  есть одна парная клетка и  в строке, и в столбце. Например, цепи, построенные к клеткам A1B2, A2B1, A3B2, показаны на рис. 2.7.

Затем рассчитываются характеристики полученных цепей как алгебраическая сумма с_ij в клетках цепи, причем с_ij свободной клетки принимается со знаком «+», а знак c_ij в остальных клетках чередуется. Так, характеристики построенных цепей d_ij рассчитываются по выражениям:

  d₁₂ = +  с₁₂ – с₁₃ + с₂₃ – с₂₂;

d₂₁ = +  с₂₁ – с₁₁ + с₁₃ – с₂₃;         (1.13)

  d₃₂ = +  с₃₂ – с₂₂ + с₂₃ – с₃₃.

Построение цепей и  расчет их характеристик продолжается до тех пор, пока не будет обнаружена клетка, цепь к которой имеет отрицательную  характеристику d_ij<0. Это свидетельствует о том, что для уменьшения суммарных затрат целесообразно записать новую поставку в эту клетку и изменить весь план транспортировки продукции. Новый вариант плана перевозок получается следующим образом: в свободную клетку записывается поставка продукции, равная минимальной поставке в клетках с отрицательным значением c_ij.

 

	C12			C13			C11			C13
А1В2			X13			X11			X13
	C23			C23			C21			C23
X22			X23			A2B1			X23
				C22			C23
			X22			X23
				C32			C33
			A3B2			X33

 

Рис. 1.1. Цепи перераспределения поставок к клеткам матрицы

A₁B₂, A₂B₁, А₃В₂

 

Так, если получено d₁₂< 0 и x₁₃<x₂₂ , то в новом варианте матрицы в клетке A1B2 записывается x^’₁₂=x₁₃, а в остальных клетках цепи изменяются поставки. Для этого к предыдущим значениям перевозок в этих клетках добавляется также величина х₁₃ с тем же знаком ( + или – ), что и критерии оптимальности с_ij для этой клетки. В клетках рассматриваемой цепи новые поставки соответственно получатся следующим образом:

x^’₁₃ = x₁₃ - x₁₃ = 0, т.е. в новом варианте плана перевозок клетка A1B2 станет свободной;

x^’₂₃ = x₂₃ + x₁₃;    x^’₂₂ = x₂₂ - x_13.

Все остальные клетки матрицы, не относящиеся к данной цепи перераспределения, остаются без изменения, такими же, как и в первоначальном варианте.

Полученный после такого преобразования вариант плана вновь  считается исходным. Он исследуется  и преобразуется аналогичным  образом, причем на каждом шаге преобразования плана перевозок продукции перераспределение  поставок производится только по одной  цепи с отрицательной характеристикой.

Преобразование плана  осуществляется до тех пор, пока не будет получен вариант перевозок, для которого все цепи, построенные  к свободным клеткам, будут иметь  положительные характеристики δ_ij. Это и является признаком оптимальности плана транспортировки продукции.

Для найденного оптимального варианта хозяйственных связей между  предприятиями-производителями и  потребителями продукции рассчитываются суммарные затраты на транспортировку  по формуле (1.7).

1.3 Исходные данные.

Таблица 2

	В1	В2	В3	В4	В5	Запасы
А1	15	68	55	20	20	15
А2	187	110	112	15	62	16
А3	6	210	54	115	50	21
А4	126	224	124	25	60	30
А5	15	52	120	39	120	25
А6	10	65	328	40	140	18
Потребности	40	15	35	30	5

Проверим необходимое  и достаточное условие разрешимости задачи.

∑ a = 15 + 16 + 21 + 30 + 25 + 18 = 125

∑ b = 40 + 15 + 35 + 30 + 5 = 125.

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

1.4. Решение.

Первая итерация заключается  в определении исходного опорного плана и проверке его на оптимальность.

Определение исходного  опорного плана. Первый опорный план может быть найден посредством различных способов: по правилу северо-западного угла, приоритету ближайших пунктов, способу минимального элемента С=(cij), способу Фогеля и по способу Лебедева-Тихомирова.

Заполним первоначальный вариант транспортировки продукции  с помощью Северо-западного метода.

Таблица 3

		40	15	35	30	5
	15	15                            15	68	55	20	20
	16	187               16	110	112	85	62
	21	6                 9	210               12	54	115	50
	30	126	224                3	124              27	25	60
	25	15	52	120               8	39                17	120
	18	10	65	328	40                13	140                5

Подсчитаем число занятых  клеток таблицы, их 10, а должно быть m + n - 1 = 10. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Чтобы установить является ли опорный план оптимальным, надо проверить, как повлияет на величину целевой  функции любое возможное перераспределение  поставок.

План распределения поставок будет оптимальным лишь в том  случае, когда целевая функция  имеет минимальное значение, т.е. когда дальнейшее уменьшение затрат на поставку будет невозможно.

Проверим возможность  уменьшения суммарных затрат на поставку продукции. С этой целью для каждой свободной от поставки клетки определяется величина Δ_ij, характеризующая изменение суммарных затрат на поставку (в расчете на единицу перераспределяемой продукции), при условии включения в план единичной поставки х_ij=1 от поставщика А_i к потребителю В_j.

При этом должно быть произведено  такое изменение остальных поставок, чтобы получившаяся совокупность поставок не нарушала баланса спроса и поставок транспортной задачи.

Определяем оценку для  каждой свободной клетки.

(А₁;В₂): В свободную клетку (А₁;В₂) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».Получилась следующая цепь: (А₁,В₂;А₁,В₁;А₃,В₁;А₃,В₂). Характеристика цепи равна δ₁₂ = (68) - (15) + (6) - (210) = -151.

(А₁;В₃): В свободную клетку (А₁;В₃) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».   Получилась следующая цепь: (А₁,В₃; А₁,В₁; А₃,В₁; А₃,В₂; А₄,В₂; А₄,В₃). Характеристика  цепи  равна δ ₁₃ = (55) - (15) + (6) - (210) + (224) - (124) = -64.

(А₁;В₄): В свободную клетку (А₁;В⁴) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Получилась следующая цепь:  (А₁,В₄;  А₁,В₁; А₃,В₁;  А₃,В₂; А₄,В₂; А₄,В₃; А₅,В₃;   А₅,В₄ ). Характеристика цепи равна: δ ₁₄ = (20) - (15) + (6) - (210) + (224) - (124) + (120) - (39) = -18.

(А₁;В₅): В свободную клетку (А₁;В₅) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Получилась следующая цепь: (А₁,В₅; А₁,В₁; А₃,В₁; А₃,В₂; А₄,В₂; А₄,В₃; А₅,В₃; А₅,В₄; А₆,В₄; А₆,В₅). Характеристика цепи равна: δ ₁₅ = (20) - (15) + (6) - (210) + (224) - (124) + (120) - (39) + (40) - (140) = -118.

(А₂;В₂): В свободную клетку (А2;В2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Получилась следующая цепь: (А2,В2; А2,В1; А3,В1; А3,В2).Характеристика цепи равна δ ₂₂ = (110) - (187) + (6) - (210) = -281. 

(А2;В3): В свободную клетку (А2;В3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Получилась следующая цепь:   (А2,В3; А2,В1; А3,В1; А3,В2; А4,В2; А4,В3).Характеристика цепи равна δ ₂₃ = (112) - (187) + (6) - (210) + (224) - (124) = -179.

  (А2;В4): В свободную клетку (А2;В4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А2,В4; А2,В1; А3,В1; А3,В2; А4,В2; А4,В3; А5,В3; А5,В4; ). Характеристика цепи равна δ ₂₄ = (15) - (187) + (6) - (210) + (224) - (124) + (120) - (39) = -195.

(А2;В5): В свободную клетку (А2;В5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А2,В5; А2,В1; А3,В1; А3,В2; А4,В2; А4,В3; А5,В3; А5,В4; А6,В4; А6,В5; ). Характеристика цепи равна δ ₂₅ = (62) - (187) + (6) - (210) + (224) - (124) + (120) - (39) + (40) - (140) = -248.

(А3;В3): В свободную клетку (А3;В3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А3,В3; А3,В2; А4,В2; А4,В3; ). Характеристика цепи равна δ ₃₃ = (54) - (210) + (224) - (124) = -56.

(А3;В4): В свободную клетку (А3;В4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А3,В4; А3,В2; А4,В2; А4,В3; А5,В3; А5,В4; ). Характеристика цепи равна δ ₃₄ = (115) - (210) + (224) - (124) + (120) - (39) = 86.

(А3;В5): В свободную клетку (А3;В5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А3,В5; А3,В2; А4,В2; А4,В3; А5,В3; А5,В4; А6,В4; А6,В5; ). Характеристика цепи равна δ ₃₅ = (50) - (210) + (224) - (124) + (120) - (39) + (40) - (140) = -79.

(А4;В1): В свободную клетку (А4;В1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А4,В1; А4,В2; А3,В2; А3,В1; ). Характеристика цепи равна δ ₄₁ = (126) - (224) + (210) - (6) = 106.

(А4;В4): В свободную клетку (А4;В4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А4,В4; А4,В3; А5,В3; А5,В4; ). Характеристика цепи равна δ ₄₄ = (25) - (124) + (120) - (39) = -18.

(А4;В5): В свободную клетку (А4;В5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А4,В5; А4,В3; А5,В3; А5,В4; А6,В4; А6,В5; ). Характеристика цепи равна δ ₄₅ = (60) - (124) + (120) - (39) + (40) - (140) = -83.

(А5;В1): В свободную клетку (А5;В1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А5,В1; А5,А3; А4,В3; А4,В2; А3,В2; А3,В1; ). Характеристика цепи равна δ ₅₁ = (15) - (120) + (124) - (224) + (210) - (6) = -1.

(А5;В2): В свободную клетку (А5;В2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А5,В2; А5,В3; А4,В3; А4,В2; ). Характеристика цепи равна δ ₅₂ = (52) - (120) + (124) - (224) = -168.

(А5;В5): В свободную клетку (А5;В5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А5,В5; А5,В4; А6,В4; А6,В5). Характеристика цепи равна δ ₅₅ = (120) - (39) + (40) - (140) = -19.

(А6;В1): В свободную клетку (А6;В1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А6,В1; А6,В4; А5,В4; А5,В3; А4,В3; А4,В2; А3,В2; А3,В1; ). Характеристика цепи равна δ ₆₁ = (10) - (40) + (39) - (120) + (124) - (224) + (210) - (6) = -7.

(А6;В2): В свободную клетку (А6;В2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А6,В2; А6,В4; А5,В4; А5,В3; А4,В3; А4,В2; ). Характеристика цепи равна δ ₆₂ = (65) - (40) + (39) - (120) + (124) - (224) = -156.

(А6;В3): В свободную клетку (А6;В3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А6,В3; А6,В4; А5,В4; А5,В3; ). Характеристика цепи равна δ ₆₃ = (328) - (40) + (39) - (120) = 207.

Опорный план является неоптимальным, поскольку имеются положительная  характеристика цепи (А6,В3;) равные: (207).

Поскольку в исходном опорном  плане рассматриваемой задачи свободная  клетка (А6;В3) имеет положительную оценку, то для получения плана, обеспечивающего большее значение целевой функции, эту клетку следует занять возможно большей поставкой, не нарушающей при этом условий допустимости плана.

Переход от неоптимального опорного плана к лучшему.

Поскольку в исходном опорном  плане рассматриваемой задачи свободная  клетка (А6;В3) имеет положительную оценку, то для получения плана, обеспечивающего большее значение целевой функции, эту клетку следует занять возможно большей поставкой, не нарушающей при этом условий допустимости плана.

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (А5, В3) = 8. Прибавляем 8 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 8 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

 

Таблица 4

		В1	В2	В3	В4	В5
		40	15	35	30	5
А1	15	15            15	68	55	20	20
А2	16	187           16	110	112	15	62
А3	21	6             9	210            12	54	115	50
А4	30	126	224             3	124           27	25	60
А5	25	15	52	120	39           25	120
А6	18	10	65	328             8	40            5	140           5

Определяем оценку для  каждой свободной клетки.

(А1;В2): В свободную клетку (А1;В2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (1,2; 1,1; 3,1; 3,2; ). Характеристика цепи равна δ ₁₂ = (68) - (15) + (6) - (210) = -151.

(А1;В3): В свободную клетку (А1;В3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А1,В3; А1,В1; А3,В1; А3,В2; А4,В2; А4,В3). Характеристика цепи равна δ ₁₃ = (55) - (15) + (6) - (210) + (224) - (124) = -64.

(А1;В4): В свободную клетку (А1;В4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».   Получилась следующая цепь (А1,В4; А1,В1; А3,В1; А3,В2; А4,В2; А4,В3; А6,В3; А6,В4; ). Характеристика цепи равна δ ₁₄ = (20) - (15) + (6) - (210) + (224) - (124) + (328) - (40) = 189.

(А1;В5): В свободную клетку (1;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А1,В5; А1,В1; А3,В1; А3,В2; А4,В2; А4,В3; А6,В3; А6,В5). Характеристика цепи равна δ ₁₅ = (20) - (15) + (6) - (210) + (224) - (124) + (328) - (140) = 89.

(А2;В2): В свободную клетку (А2;В2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А2,В2; А2,В1; А3,В1; А3,В2; ). Характеристика цепи равна δ ₂₂ = (110) - (187) + (6) - (210) = -281.

(А2;В3): В свободную клетку (А2;В3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А2,В3; А2,В1; А3,В1; А3,В2; А4,В2; А4,В3).  Характеристика цепи равна δ ₂₃ = (112) - (187) + (6) - (210) + (224) - (124) = -179.

(А2;В4): В свободную клетку (А2;В4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А2,В4; А2,В1; А3,В1; А3,В2; А4,В2; А4,В3; А6,В3; А6,В4). Характеристика цепи равна δ ₂₄ = (15) - (187) + (6) - (210) + (224) - (124) + (328) - (40) = 12.

(А2;В5): В свободную клетку (А2;В5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А2,В5; А2,В1; А3,В1; А3,В2; А4,В2; А4,В3; А6,В3; А6,В5). Характеристика цепи равна δ ₂₅ = (62) - (187) + (6) - (210) + (224) - (124) + (328) - (140) = -41.

(А3;В3): В свободную клетку (А3;В3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А3,В3; А3,В2; А4,В2; А4,В3). Характеристика цепи равна δ ₃₃ = (54) - (210) + (224) - (124) = -56.

(А3;В4): В свободную клетку (А3;В4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А3,В4; А3,В2; А4,В2; А4,В3; А6,В3; А6,В4). Характеристика цепи равна δ ₃₄ = (115) - (210) + (224) - (124) + (328) - (40) = 293.

(А3;В5): В свободную клетку (А3;В5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».  Получилась следующая цепь (А3,В5; А3,В2; А4,В2; А4,В3; А6,В3; А6,В5). Характеристика цепи равна δ ₃₅ = (50) - (210) + (224) - (124) + (328) - (140) = 128.